6395. 【NOIP2019模擬2019.10.28】消失的序列

題意

求$n$對括號序的合法數目，並要求第$x$個右括號剛好匹配第$pos$個左括號。

思路

首先枚舉第$pos$個左括號的位置，那麼可以算出第$x$個右括號的位置.

分三類討論：

1. $(pos +1) \sim (x - 1)$這一段的方案數是一個卡特蘭數。

2. $1\sim (pos-1)$相當於是從$(0,0)$出發走到$(n,m)$不穿過對角線$y=x$的方案.

等價於不經過斜線$y=x+1$的方案，按照$y=x+1$對稱可以得到方案數爲 總方案 - 不合法方案，每一條不合法方案對應着一條到達$(m-1,n+1)$點的方案，因爲必定經過y=x+1，$\binom{n+m}{n}-\binom{n+m}{m-1}$

3. $x+1\sim n$這一段類似，只不過是從某個點$(k,0)$開始走到$(n,m)$的方案，等價於從$(0,0)$走到$(n,m-k)$的方案，這是顯然的。