傅立葉變換的意義和卷積(ZZ)

（一）傅立葉變換的物理意義

傅立葉變換是數字信號處理領域一種很重要的算法。但是該算法到底有何意義呢？

要知道傅立葉變換算法的意義，首先要了解傅立葉原理的意義。傅立葉原理表明：任何 連續測量的時序或信號，都可以表示爲不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據該原理創立的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信 號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。

和傅立葉變換算法對應的是反傅立葉變換算法。該反變換從本質上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨改變的正弦波信號轉換成一個信號。

因此，可以說，傅立葉變換將原來難以處理的時域信號轉換成了易於分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信號進行處理、加工。最後還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號轉換成時域信號。

從現代數學的眼光來看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個函數表示成正弦基函數的線性組合或者積分。在不同的研究領域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅里葉變換和離散傅里葉變換。

傅立葉變換屬於調和分析的內容。"分析"二字，可以解釋爲深入的研究。從字面上來 看，"分析"二字，實際就是"條分縷析"而已。它通過對函數的"條分縷析"來達到對複雜函數的深入理解和研究。從哲學上看，"分析主義"和"還原主義"， 就是要通過對事物內部適當的分析達到增進對其本質理解的目的。比如近代原子論試圖把世界上所有物質的本源分析爲原子，而原子不過數百種而已，相對物質世界 的無限豐富，這種分析和分類無疑爲認識事物的各種性質提供了很好的手段。

在數學領域，也是這樣，儘管最初傅立葉分析是作爲熱過程的解析分析的工具，但是其 思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特徵。"任意"的函數通過一定的分解，都能夠表示爲正弦函數的線性組合的形式，而正弦函數在物理上是被充分研究 而相對簡單的函數類，這一想法跟化學上的原子論想法何其相似！奇妙的是,現代數學發現傅立葉變換具有非常好的性質,使得它如此的好用和有用,讓人不得不感 嘆造物的神奇:

1. 傅立葉變換是線性算子,若賦予適當的範數,它還是酉算子;

2. 傅立葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似;

3. 正弦基函數是微分運算的本徵函數,從而使得線性微分方程的求解可以轉化爲常係數的代數方程的求解.在線性時不變的物理系統內,頻率是個不變的性質,從而系統對於複雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應來獲取;

4. 著名的卷積定理指出:傅立葉變換可以化複雜的卷積運算爲簡單的乘積運算,從而提供了計算卷積的一種簡單手段;

5. 離散形式的傅立葉變換可以利用數字計算機快速的算出(其算法稱爲快速傅立葉變換算法(FFT))。

正是由於上述的良好性質,傅里葉變換在物理學、數論、組合數學、信號處理、概率、統計、密碼學、聲學、光學等領域都有着廣泛的應用。

在圖象處理上的應用
傅立葉變換是圖像處理中最常用的變換。它是進行圖像處理和分析的有力工具。

傅立葉變換的數學定義
傳統的傅立葉變換是一種純頻域分析，它可將一般函數f(x)表示爲一簇標準函數的加權求和，而權函數亦即f的傅立葉變換。設f是R上的實值或復值函數，則f爲一能量有限的模擬信號，具體定義如下：

2、圖像傅立葉變換的物理意義

圖像的頻率是表徵圖像中灰度變化劇烈程度的指標，是灰度在平面空間上的梯度。 如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區域，對應的頻率值很低；而對於地表屬性變換劇烈的邊緣區域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區域，對應的頻率 值較高。傅立葉變換在實際中有非常明顯的物理意義，設f是一個能量有限的模擬信號，則其傅立葉變換就表示f的譜。從純粹的數學意義上看，傅立葉變換是將一 個函數轉換爲一系列周期函數來處理的。從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉換到空間域。換句話說，傅立葉 變換的物理意義是將圖像的灰度分佈函數變換爲圖像的頻率分佈函數，傅立葉逆變換是將圖像的頻率分佈函數變換爲灰度分佈函數。

（二） 卷積的意義
這個還是劍橋的課件寫得好，順便貼了~

Convolution

Several important optical effects can be described in terms of convolutions.

Let us examine the concepts using 1D continuous functions.

The convolution of two functions f (x ) and g (x ), written f (x )*g (x ), is defined by the integral

For example, let us take two top hat functions of the type described earlier. Let be the top hat function shown in Fig.11 ,

and let be as shown in Fig.13 , defined by

Fig.13 Another top hat:

• is the reflection of this function in the vertical axis,
• is the latter shifted to the right by a distance x .
• Thus for a given value of x , integrated over all is the area of overlap of these two top hats, as has unit height.
• An example is shown for x in the range in Fig.14 .

Fig.14 Convolving two top hats

If we now consider x moving from to , we can see that

• for or , there is no overlap;
• as x goes from -1 to 0 the area of overlap steadily increases from 0 to 1/2;
• as x increases from 0 to 1, the overlap area remains at 1/2;
• and finally as x increases from 1 to 2, the overlap area steadily decreases again from 1/2 to 0.
• Thus the convolution of f (x ) and g (x ), f (x )*g (x ), in this case has the form shown in Fig.15 ,

Fig.15 Convolution of two top hats