傅氏變換（無公式,無英語）

傅氏變換

傅氏變換是人類對自然界認知的一種方法，是認識事物背後本質的有趣方式，是衆多數學分析工具中的一顆璀璨的明星，是所有理工科學生都必不可少的一門課。大家要了解的不僅僅是課本上的複雜公式，更是應該跳出課本，學習傅氏變換的思想，並通過實際項目中的應用去了解她。

爲什麼說傅氏變換是一種正交變換，不同成分（頻率）的正弦信號是他的一組正交基？

正交

所謂正交，從幾何的角度說就是相互垂直，也就是說兩者完全相互獨立，A不能用B表示，B也不能用A表示。就好像是辣椒炒肉裏面的材料，辣椒，肉和鹽是一組正交基，因爲他們誰也不能代替誰。假設我們改用，辣椒，醃肉和鹽來做辣椒炒肉。那麼，辣椒，醃肉和鹽充其量只能算是一組基，但不正交，因爲醃肉裏面有鹽了。這也正好證明了用一組正交基來表示的好處，因爲如果不用醃肉，我按照1:1:1就能完美的重現一盤辣椒炒肉，可以用醃肉來做，我們還要知道醃肉裏面究竟有多少鹽。

基

基就是基本元素的意思，數學上叫基向量。要想完全精確的對一個事物進行分析。基必須完全，該有的一個都不能少，不該有的一個都不能多。用辣椒炒肉來說（辣椒，肉，鹽）就是一組基且是正交基。但是這組基做出來的辣椒炒肉可能就不如以（辣椒，肉，鹽，味精，蔥，姜，蒜）爲基做出來的好吃。

要是你用前面那個只有三個元素的基去對一個味道非常好用了其他材料做出來的辣椒炒肉做傅里葉分析（即，傅里葉變換），就無法分辨出其他的調料，食材，以及他們所佔的比重。

看圖說“基”

傅里葉分析的基（基本元素）是用（一定幅度/同一幅度）從0頻率到無限大頻率的無數多個正弦函數和餘弦函數共同組成的。

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上圖展示的是一組從0頻開始頻率不斷增大的正弦函數圖像。（注意100HZ處圖像出現了奇妙的混迭，也就是說信號的高頻部分混入了信號的低頻部分，信號被破壞了。）

（點擊圖像放大）

上圖展示的是一組從0頻開始頻率不斷增大的餘弦函數圖像。（同樣，100HZ處圖像出現了混迭。）

大弦嘈嘈如急雨，小弦切切如私語，嘈嘈切切錯雜彈，大珠小珠落玉盤

上圖中的一個個信號像不像是一個根根琵琶女手中波動的琴絃？不同粗細的琴絃所發出的從沉悶到尖銳清脆的聲音不就是不同頻率的正弦信號嗎！

我們的傅里葉分析正是利用了這些無窮無盡的，不同頻率的，各個成分所佔比重不同的，取之不盡用之不竭的，眼花繚亂的，正弦信號和餘弦信號組成的基（基礎元素）來張成（構建，編碼，分析，編織，合成）自然界中各種各樣錯綜複雜的信號的。

信號的傅里葉分析或者其他分析就是把一個複雜的問題的簡化，分解的方式多重多樣參差不齊。其目的是把一個複雜的事物，一個困難的問題，一個費解的現象用不同的方式去再展示，再表達，再深挖，再剖析，以至於我們能夠更好地去控制其中的各個成分，增強有用的，去掉或者抑制沒用的，去了解事物的一些不同的屬性。所以，說白了就是要有“目的”去構建分析和剖析現象的方法方式，變換的方式有很多，但是某些信號或者問題用傅里葉的方式來分析恰到好處（弱水三千只取一瓢，殺雞焉用宰牛刀說的就是這個道理。）。

有很強的目的性/針對性的意義

屠呦呦的青蒿素（屠呦呦變換）和西方的牛痘

中華傳統中醫藥學是大自然的寶庫，是上帝的饋贈，是勞動人民智慧的結晶。在西方有這麼一則故事。18世紀，天花是一種殺傷性很強的疾病。愛得華·詹納（1749-1823）在倫敦訓練以及在軍隊當了一段外科醫生後，成爲一個農村醫生。他從口頭的傳說中知道，擠牛奶的少女不會得天花。他相信，擠牛奶的少女只會得很輕的天花和她得無生命危險的牛痘之間會有一定的聯繫。但他不知道水泡中的膿水保護擠牛奶少女的作用。詹納相信，用牛痘的液體注入人體內，牛痘的細菌使人能抵抗以後注射的天花細菌所帶來的危險。詹納決定試試他所想出的主意。1796年3月，一位名叫莎拉·內爾姆斯的年輕擠牛奶姑娘去看詹納。此時詹納看見莎拉·內爾斯姆正長牛痘，詹納從她的牛痘腫塊中抽出一些液體，後放入詹姆斯手臂上的切割口。詹姆斯是一位農民的兒子，他同意注射內爾姆斯牛痘的液體。注入牛痘後，詹姆斯得病並不利害。六週後，詹姆斯康復。詹納又給詹姆斯注射病毒，但經過注射牛痘液的詹姆斯不再得天花。詹納的實驗成功了。經過許多進一步成功的試驗以後。詹納在1798年發表他的發現“一個原因的調查和天花疫苗的效果”。詹納稱他的“接種疫苗”想法來自拉丁文牛痘。最後，歐洲的醫生都承認，用接種牛痘的方法防止天花的效果很好。接種牛痘遍及歐洲和北美。1980年由於詹納發現的結果，世衛組織稱，全世界的人民已從天花病解放出來。

諾貝爾主題演講會的主持人，卡羅林斯卡學院傳染病學教授 Jan Andersson先生在屠呦呦研究員演講全程中一直跪在地上，一隻手從後面扶着屠教授，另一隻手爲屠呦呦研究員拿着話筒，30分鐘一動未動。

無獨有偶，早在中國古代很早就有醫家發現草藥青蒿對於瘧疾的治療有極大的幫助。但是僅僅只是知道這種草藥能夠治療這種疾病還遠不夠，其一是青蒿素在青蒿中的含量很低不利於用藥，其二不利於定性定量的去分析其中究竟哪個成分的東西在對疾病的治療起到了至關重要的作用，不能大量生產和人工合成。按照東晉葛洪所著的肘後備急方中所提到了一種分析和提取的方式，屠呦呦利用低沸點的提取方法成功的提取了青蒿中的有效成分青蒿素。她這裏所用的提取方法就是一種分析方式，即一種變換，暫且就叫他“屠呦呦變換”吧。其目的性很明確，就是要把青蒿中的各個成分分別分離出來，然後只對有效地分量，成分，係數，基向量，加以抽取，過濾，濾波。這不就是西方對抗天花時所提取的牛痘中的膿水嗎。所以從這個角度講，傅氏變換中的基就是一種濾紙，一種過濾裝置，一組濾波器，變換的過程就是過濾，變換後的結果就是每個濾紙過濾出來的東西。注意，傅氏變換所用的濾紙過濾後是沒有殘渣的，每個成分都會有選擇性的通過不同的濾紙來過濾。而屠呦呦的提過過程則會產生殘渣，因爲它是有選擇的。

傅氏分析的週期性以及三個重要元素，幅度，頻率，相位。

傅里葉變換的基礎就是用用不同頻率的正弦信號來表示（解釋）任何信號，所以我想從正弦信號來解釋是一個不錯的選擇。三角函數這一週期性的函數和圓是必不可分的，有些教材中會利用單位圓的概念來定義三角函數。

如果把三角函數放在二維笛卡爾座標系中，假設三角函數是海里有規則的潮汐，他的幅度反映的就是那個無限長大波浪的一個個浪尖的高度。如果把他想象成樓梯，那麼針對同一個樓，他的樓梯折返次數越多說明他的頻率越高，反之則頻率很低。如果想象成一場3000米的賽跑，大家會發現每個運動員都會在不同的起點起跑，這就是相位不同。

現在我們再用圓來解釋一遍。

假設現在有個點在做圓周運動。

這個點的旋轉速度就是他的頻率，例如3圈每秒。

這個點距離遠點的距離就是他的幅度，例如1CM。

這個點旋轉的起始位置就是他的相位，例如從（1,0）開始。

相信大家都能很容易的把三角函數和圓聯繫起來。下面這個圖形能夠很好地說明，怎麼用不同頻率的正弦信號去畫圓，去合成不同的信號。

上圖爲幅度爲1，速度（頻率）爲x，相位在藍色半徑的位置的正弦信號。

上圖爲在第一幅圖的基礎上增加了幅度爲0.5，相位和頻率都不同的信號。

上圖爲大家很熟悉的方波信號。

上圖爲任意信號。

請牢記，傅里葉變換的基礎是用不同頻率的三角函數去分析數據，他是週期的，是用週期的磚頭去搭建週期的房子。

爲了說明傅里葉變換的基石，即正弦函數。我之所以這麼看重正弦函數的性質，是因爲它的性質和傅里葉變換的性質息息相關，就好像利用三角形來定義三角函數和利用單位圓來定義三角函數一樣，是你中有我，我中有你的。換句話說，要想“充分”瞭解任何數學變換，必須要了解它的基本構建元素，它的子空間，它的基。恰似，化學之離子，物理之原子，生物之細胞。用橫豎撇捺爲基構成（張成）的信息（空間）是漢字，用26個字母爲基構成的信號（空間）是洋文。

傅里葉變換隻是衆多變換中的一種，他的思想很重要。理解了他的想法，你自己也可以去創建自己的分析方式。任何變換都有他的侷限性，而且他的侷限性就是他的針對性。要學會利用每個變換的屬性才能更好地駕馭它，使用它，要知道在什麼情況下才能使用它。

望穿秋水----傅里葉分析

大家通過之前各種例子的說明，還有傅里葉變換三要素的講解估計又被搞胡塗了。爲了以正視聽，還是請大家看看上圖對傅里葉分解的解讀。N點的信號被分解成N+2點的信號，每個信號有N個點，其中一半是由不同頻率的餘弦信號組成的/表示的，另一半則是由正弦信號組成的。每一個正弦或者餘弦信號的大小反映了這一單一成分在原始信號中所佔的比重。

謝謝收看！

（全文完）