【算法】如何用隨機函數rand5來構造隨機函數rand7

常規方法

• 今天公司有一個面試題是這樣的：假如有一個函數rand5能等概率生成1 - 5 之間的整數，如何利用rand5來實現rand7？rand7函數的要求是能夠等概率生成1 - 7之間的整數。說實話我自己也不是很清楚。
• 這個問題很經典的。carreercup那本書上有個常見的解法，我記得算法大概是這樣的，用PHP寫寫吧：

01	echo 'rand7 = '.rand7();

02

03	function rand7()

04

{

05	while (true)

06

{

07	//得出[0,24]的平均分佈

08	$i = 5 * (rand5() - 1) + (rand5() - 1);

09	//只取前21個, 前21個也是平均分佈,然後mod 7

10	if( $i < 21 )

11

{

12	return $i % 7 + 1;

13

}

14

}

15

}

• 這麼寫是什麼意思呢？
• 兩次使用rand5()，可以生成1-25的所有數。5 * (rand5() - 1) 可以生成 0 - 20，而後面的則可以生成0 - 4。用數學表達的話就是 [0, 24]。
• [0, 24] 範圍內生成的隨機數$i如果大於21，就用 while (true) 重新生成。當$i < 21的時候，就可以用模運算了。
• 明白了。當 $i < 21的時候，模 7 的結果是 0-6，加1就可以修正爲 1-7，這樣就可以通過rand5來實現rand7了。

算法的一些釋疑

• 話說得出[0,24]的平均分佈的 $i = 5 * (rand5() - 1) + (rand5() - 1); 爲什麼要這麼寫呢？爲什麼不能直接 $i = 6 * (rand5() - 1) ？
• rand5()產生的是[1,5]的均勻分佈，但是有沒有發現最後產生的rand7()卻是[0,6]的，那麼平均分佈是如何實現的呢？
• 5*(rand5()-1) 生成的是 0, 5,10,15,20各20%的概率，rand5()-1 是0,1,2,3,4各20%概率，兩者相加，就是0-24各1/25的概率，這樣就保證了平均分佈的問題了。基本的概率和排列組合問題了。
• 前21個也是平均分佈，那麼我取 $i < 14 也可以麼？這樣也能保證平均分佈嗎？
• 應該也可以，但是增加了可能的循環次數。你看到 while (true) 這行代碼嗎？當while裏面的條件不滿足，循環就會一直下去。所以從程序上考慮，就是用了21而非14吧。

晚些時候

• 我Google了下，貌似還有其它思路。先用2個rand5產生rand10（注意，不是相加），然後從rand10產生rand7。

01	// Gen 0, 1 equal probability

02	int rand01()

03

{

04	int i = rand5();

05	while (i > 4) {i = rand5();}

06	return i % 2;

07

}

08

09	// Gen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 equal probability

10	int rand07()

11

{

12	return rand01() << 2 + rand01() << 1 + rand01();

13

}

14

15	// Gen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 equal probability

16	int rand7()

17

{

18	int i = rand07();

19	while (i == 0) {i = rand07();}

20

return i;

21

}

• 還有一種方法，可以直接把概率問題轉化到矩陣中解決。

01	int matrix[5][5];

02

03	memset(matrix, 0, sizeof(matrix));

04

05	// Set matrix with num 1-7, each num has the same count.

06	for (int i = 1; i <= 7; ++i)

07

{

08	for (int j = 0; j < 3; ++j)

09

{

10	*matrix++ = i;

11

}

12

}

13

14	int rand7()

15

{

16

int i;

17

18

do

19

{

20	i = matrix[rand5() - 1][rand5() - 1];

21	} while (i == 0);

22

23

return i;

24

}

• 你還真好學。。

通過這個面試題學到了等概率問題的各種解法，可以從把數從二進制角度看，可以用公式拼接出更大的等概率值域空間，也可以直接把概率問題轉化到矩陣中解決。

rand5() 它能夠等概率生成 1-5 之間的整數。所謂等概率就是1,2,3,4,5 生產的概率均爲 0.2 。現在利用rand5(), 構造一個能夠等概率生成 1- 7 的方法。 這裏有兩個特別重要的點，一是 如果 rand5() + rand5(), 我們能夠產生一個均勻分佈的 1 - 10 嗎？ 答案是否定的。比如對於 6來講（4+2， 2+4， 3+3），它被生成的生成的概率比1 （1+0，0+1）要大。

第二個點就是我們不可能用rand5()直接產生 1- 7 的數，不管你用加減乘除都不行。所以，我們要構造一個更大的範圍，使得範圍裏每一個值被生成的概率是一樣的，而且這個範圍是7的倍數。

先產生一個均勻分佈的 0， 5， 10， 15， 20的數，再產生一個均勻分佈的 0， 1， 2， 3， 4 的數。相加以後，會產生一個 0到24的數，而且每個數（除0外）生成的概率是一樣的。我們只取 1 - 21 這一段，和7 取餘以後+1就能得到完全均勻分佈的1-7的隨機數