Container With Most Water

Given n non-negative integers a1, a2, ..., an, where each represents a point at coordinate (i, ai). n vertical lines are drawn such that the two endpoints of line i is at (i, ai) and (i, 0). Find two lines, which together with x-axis forms a container, such that the container contains the most water.

Note: You may not slant the container.

 

題目意思就不翻譯了，大概是要找到條縱線然後這兩條線以及X軸構成的容器能容納最多的水。

下面以例子：   [4,6,2,6,7,11,2] 來講解。

1.首先假設我們找到能取最大容積的縱線爲 i , j (假定i<j)，那麼得到的最大容積 C = min( ai , aj ) * ( j- i) ；

2.下面我們看這麼一條性質：

①: 在 j 的右端沒有一條線會比它高！ 假設存在 k |( j<k && ak > aj) ，那麼  由 ak> aj，所以 min( ai,aj, ak) =min(ai,aj) ，所以由i, k構成的容器的容積C' = min(ai,aj ) * ( k-i) > C，與C是最值矛盾，所以得證j的後邊不會有比它還高的線；

②:同理，在i的左邊也不會有比它高的線；

這說明什麼呢？如果我們目前得到的候選： 設爲 x, y兩條線（x< y)，那麼能夠得到比它更大容積的新的兩條邊必然在  [x,y]區間內並且 ax' > =ax , ay'>= ay;

3.所以我們從兩頭向中間靠攏，同時更新候選值；在收縮區間的時候優先從  x, y中較小的邊開始收縮；

證明：不妨設ax < ay， [x,y] 的收縮有以下兩週

（1）[x+1,y];    (2) [x,y-1];

(1)(2)中有重疊的部分，將其劃分爲幾個不重疊的子集

[x+1,y-1], 

[k,y] (k = x+1,x+2,...),

 [x,k] (k = x+1,x+2,...)

而不難證明：

min(ax,ak)*(k-x) < min(ax,ay)*(y-x)  (because ax < ay)

故而此擴展是多餘的，也即ax不可留，所以從小的一端收縮。

class Solution {
public:
    int maxArea(vector<int>& height) {
       int capability = 0;
	   size_t left = 0, right = height.size() - 1;
    
	   while (left < right)
	   {
            const int water =  min(height[left], height[right]) * (right - left);
            if (water > capability) capability = water;
            if (height[left] < height[right])
            {
                ++left;
            }
            else
            {
                --right;
            }
       }
        return capability;
    }
};