BZOJ2407:探險/BZOJ4398:福慧雙修-最短路+分治

兩道都是權限題…

題意：

給出一張n個點，m條邊的圖，同一條邊不能走兩次，每條邊正着走與反着走所需要的時間可能不同，求一個從1開始的大於一個點的最短環

N<=10000,M<=200000,1<=W,V<=10000$N<=10000,M<=200000,1<=W,V<=10000$

Solution:

網上的題解都是構造…然而並不是很理解

聽學長講了一種神奇的解法，感覺非常妙：

我們可以發現，我們走出一步後，就會變成一個裸的最短路問題，所以最暴力的解法就是枚舉從1開始能到達的點，然後從這個點開始走最短路（不經過來時的點）即可

現在我們想辦法去優化這個算法：

我們把求出的環中與1相連的兩個點稱作x,y

考慮分治，每次把點分成兩部分，一部分的與1相連的點只連1到這個點的邊，另一部分只連這個點到1的邊，這樣跑最短路我們可以求出x和y分別在這兩部分的點，但是可能最優解的x和y在同一側，把左右兩邊遞歸分治處理即可

但是這樣複雜度好像更劣了…

但是會發現每次分治時跑最短路只會處理小部分點，但是我們跑的是整個圖，在這裏嚴重浪費了時間，所以說有一個大膽的想法：能否在分治的每一層，把所有的分治情況都放在同一個圖中呢？

答案是可行的，因爲每個分治都是相對獨立的，放在一塊不會影響最優性。

但是看起來不好處理啊…

其實通過二進制的每一位來分治是非常完美的，具體爲什麼大家可以打個二進制表來直觀感受一下

枚舉二進制的每一位，把點分成這一位爲0的和這一爲位1的，最後跑最短路即可，具體實現可以看代碼

總複雜度O(nlog2n)$O(n{\log }^{2}n)$

雖然比構造新圖的解法要劣，但是很好理解不是麼QWQ

代碼：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<queue>
#include<ctime>
#define pii pair<int,int>
using namespace std;
int n,m,size;
int bg[200010],ed[200010];
struct G{
    int x,y,s,t;
}E[200010];
int head[40010],dis[40010],ans=1e9;
bool v[40010];
struct edg{
    int to,next,v;
}e[400010];
void add(int x,int y,int v){size++;e[size]={y,head[x],v};head[x]=size;}
priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii> > q;
void dij()
{
    while (!q.empty())
    {
        int x=q.top().second;q.pop();
        if (v[x]) continue;
        v[x]=1;
        for (int i=head[x];i;i=e[i].next)
        {
            int y=e[i].to;
            if (v[y]) continue;
            if (dis[y]>dis[x]+e[i].v) dis[y]=dis[x]+e[i].v,q.push(make_pair(dis[y],y)); 
        }
    }   
}
void solve(int j)
{

    for (int i=1;i<=n;i++) v[i]=0,dis[i]=1e9;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        if (ed[i]&&(!((i>>j)&1))) dis[i]=bg[i],q.push(make_pair(dis[i],i));
    }
    dij();
    for (int i=2;i<=n;i++) if (ed[i]&&((i>>j)&1)) ans=min(ans,dis[i]+ed[i]);
    for (int i=1;i<=n;i++) v[i]=0,dis[i]=1e9;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        if (ed[i]&&((i>>j)&1)) dis[i]=bg[i],q.push(make_pair(dis[i],i));
    }
    dij();
    for (int i=2;i<=n;i++) if (ed[i]&&(!((i>>j)&1))) ans=min(ans,dis[i]+ed[i]);
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d%d",&E[i].x,&E[i].y,&E[i].s,&E[i].t);
        if (E[i].x==E[i].y) continue;
        if (E[i].x>E[i].y) swap(E[i].x,E[i].y),swap(E[i].s,E[i].t);
        if (E[i].x==1) bg[E[i].y]=E[i].s,ed[E[i].y]=E[i].t;
        else add(E[i].x,E[i].y,E[i].s),add(E[i].y,E[i].x,E[i].t);
    }
    for (int i=0;i<=16;i++) solve(i);
    if (ans<1e9)printf("%d",ans);
    else printf("-1");
}