堆排序
1、堆
如圖6-1所示，（二叉）堆是一個數組，它可以被看成一個近似的完全二叉樹。樹上的每一個結點對應數組中的一個元素。除了最底層外，該樹是完全充滿的，而且是從左向右填充。表示堆的數組A包括兩個屬性：A.length（通常）給出數組元素的個數，A.heap-size表示有多少個堆元素存儲在該數組中。也就是說，雖然A[1..A.length]可能都存有數據，但只有A[1..A.heap-size]中存放的是堆的有效元素，這裏，0<=A.heap-size<=A.length。樹的根節點是A[1]，這樣給定一個結點的下標i，我們很容易計算得到它的父結點、左孩子和右孩子的下標：
PARENT(i)
<span style="white-space:pre"> </span>return『i/2』LEFT(i)
<span style="white-space:pre"> </span>return 2iRIGHT(i)
<span style="white-space:pre"> </span>return 2i+1
二叉堆可以分爲兩種形式：最大堆和最小堆。在這兩種堆中，結點的值都要滿足堆的性質，但一些細節定義則有所差異。在最大堆中，最大堆性質是指除了根以外的所有結點i都要滿足：
A[PARENT(i)]>=A[i]
也就是說，某個結點的值至多與其父結點一樣大。因此，堆中的最大元素存放在根節點中；並且，在任一子樹中，該子樹所包含的所有結點的值都不大於該子樹根結點的值。
下面我們開始介紹一些基本過程，並說明如何在排序算法中應用它們。
- MAX-HEAPIFY過程：其時間複雜度爲O(lgn)，它是維護最大堆性質的關鍵。
- BUILD-MAX-HEAP過程：具有線性時間複雜度，功能是從無序的輸入數據數組中構造一個最大堆。
- HEAPSORT過程：其時間複雜度爲O(lgn)，功能是對一個數組進行原址排序。
- MAX-HEAP-INSERT、HEAP-EXTRACT-MAX、HEAP-INCREASE-KEY和HEAP-MAXIMUM過程：時間複雜度爲O(lgn)，功能是利用對實現一個優先隊列。
2、維護堆的性質
MAX-HEAPIFY是用於維護最大堆性質的重要過程。它的輸入爲一個數組A和一個下標i。在調用MAX-HEAPIFY的時候，我們假定根結點爲LEFT(i)和RIGHT(i)的二叉樹都是最大堆，但這時A[i]有可能小於其孩子，這樣就違背了最大堆的性質。MAX-HEAPIFY通過讓A[i]的值在最大堆中“逐級下降”，從而使得以下標i爲根結點的子樹重新遵循最大堆的性質。
MAX-HEAPIFY(A,i)
<span style="white-space:pre"> </span>l=LEFT(i)
<span style="white-space:pre"> </span>r=RIGHT(i)
<span style="white-space:pre"> </span>if l<=A.heap-size and A[l]>A[i]
<span style="white-space:pre"> </span>largest=l
<span style="white-space:pre"> </span>else largset=l
<span style="white-space:pre"> </span>if r<=A.heap-size and A[r]>A[largest]
<span style="white-space:pre"> </span>largest=r;
<span style="white-space:pre"> </span>if largest!=i
<span style="white-space:pre"> </span>exchange A[i] with A[largest]
<span style="white-space:pre"> </span>MAX-HEAPIFY(A,largest)下圖6-2圖示了MAX-HEAPIFY的執行過程。在程序的每一步中，從A[i]、A[LEFT(i)]和A[RIGHT(i)]中選出最大的，並將其下標存儲在largest中。如果A[i]是最大的，那麼以i爲根結點的子樹已經是最大堆，程序結束。否則，最大元素是i的某個孩子結點，則交換A[i]和A[largest]的值。從而使i及其孩子都滿足最大堆的性質。在交換後，下標爲largest的結點的值是原來的A[i]，於是以該結點爲根的子樹又有可能會違反最大堆的性質。因此，需要對該子樹遞歸調用MAX-HEAPIFY。
3、建堆
我們可以用自底向上的方法利用過程MAX-HEAPIFY把一個大小爲n=A.length的數組A[1..n]轉換爲最大堆。我們知道，子數組A(『n/2』+1..n)中的元素都是樹的葉結點。每個葉結點都可以看成只包含一個元素的堆。過程BUILD-MAX-HEAP對樹中的其他結點都調用一次MAX-HEAPIFY。
BUILD-MAX-HEAP(A)
<span style="white-space:pre"> </span>A.heap-size=A.length
<span style="white-space:pre"> </span>for i=[A.length/2] downto 1
<span style="white-space:pre"> </span>MAX-HEAPIFY(A,i) 
4、堆排序算法
初始時候，堆排序算法利用BUILD-MAX-HEAP將輸入數組A[1..n]建成最大堆，其中n=A.length。因爲數組中的最大元素總在根結點A[1]中，通過把它與A[n]進行互換，我們可以讓該元素放到正確的位置。這時候，如果我們從堆中去掉結點n（這一操作可以通過減少A.heap-size的值來實現），剩餘的結點中，原來根的孩子結點仍然是最大堆，而新的根結點可能會違背最大堆的性質。爲了維護最大堆的性質，我們要做的是調用MAX-HEAPIFY(A,1)，從而在A[1..n-1]上構造一個新的最大堆。堆排序算法會不斷重複這一過程，直到堆的大小從n-1降到2。
HEAPSORT(A)
<span style="white-space:pre"> </span>BUILD-MAX-HEAP(A)
<span style="white-space:pre"> </span>for i=A.length downto 2
<span style="white-space:pre"> </span>exchange A[i] with A[i]
<span style="white-space:pre"> </span>A.heap-size=A.heap-size - 1
<span style="white-space:pre"> </span>MAX-HEAPIFY(A,1)
