水羣

總所周知，水羣是一件很浪費時間的事，但是其實在水羣這件事中，也可以找到一些有意思的東西。

比如現在，bx2k就在研究怎樣水錶情的問題。

首先，bx2k在對話框中輸入了一個表情，接下來，他可以進行三種操作。

第一種，是全選複製，把所有表情全選然後複製到剪貼板中。

第二種，是粘貼，把剪貼板中的表情粘貼到對話框中。

第三種，是退格，把對話框中的最後一個表情刪去。

假設當前對話框中的表情數是num0，剪貼板中的表情數是num1，

那麼第一種操作就是num1=num0

第二種操作就是num0+=num1

第三種操作就是num0--

現在bx2k想知道，如果要得到n(1<=n<=10^6)個表情，最少需要幾次操作。

請你設計一個程序幫助bx2k水羣吧。

出題人的解題報告：首先簡化題目，題面的意思就是，當前有一個數s

操作1是s*=k代價爲k，操作2是s--代價爲1

求把s從1變到n的最小代價

做法1：

直接暴力記憶化搜索，F(i)表示從1到i用的最小操作數

則F(i)=min(F(i+1),min{F(k)+n/k|n%k==0})

當然這樣做肯定過不了

做法2：

考慮把問題轉換成圖論模型，對於每個i

連邊i→i-1邊權爲1，連邊i→i*k邊權爲k

那麼題目就是要求點1到點n的最短路

但是很顯然這樣複雜度還是很高並不能過

做法3：

注意到如果一條邊i→i*k能用若干條邊代替

那麼i→i*k這條邊就是沒有意義的

因爲那些邊的權值的乘積等於k

即那些邊的權值和小於等於k

因此對於每個i，只用連i→i*p的邊，其中p是質數

這樣就可以讓邊數變得很小了

但是0.1s還是過不去

做法4：

既然過不去，就可以想一些別的辦法

考慮在做法3中記錄每一個點的最短路路徑

就是打一個每個點自己最短路上的上一個點的表

那麼可以從表中發現，i→i-1的邊不會連續出現4次以上

而且i→i*p的邊只有當p<=13的時候纔有意義

於是又可以刪掉很多邊，邊數大概是3*10^6條

但是這樣做複雜度還是不夠，用時稍微多於0.1s

做法5：

既然最短路的做法複雜度太高，就可以再換個思路。

重新考慮記憶化搜索的做法，F(i,j)表示從1到i上一條邊的狀態是j的最少操作數

j=0時上一條邊可以是i→i-1的，否則就是i→i*p的邊

那麼F(i,0)=min(min{F(i+k,1)|0<k<5},min{F(i/p,0)|p<13})

於是這樣做就可以把時間降到最低，從而做出此題

最短路徑做法

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<queue>
using namespace std;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int maxn=1e6+20;
int n,ans[maxn],a[]={2,3,5,7,11,13};
bool vis[maxn];
queue<int> q;
void spfa(){
    q.push(1);vis[1]=1;
    while(!q.empty()){
        int cur=q.front();q.pop();vis[cur]=0;
        for(int i=0;i<6;i++){
            if(cur*a[i]<n+20&&ans[cur*a[i]]>ans[cur]+a[i]){
                ans[cur*a[i]]=ans[cur]+a[i];
                if(!vis[cur*a[i]]) q.push(cur*a[i]),vis[cur*a[i]]=1;
            }
        }
        if(ans[cur-1]>ans[cur]+1){
            ans[cur-1]=ans[cur]+1;
            if(!vis[cur-1]) q.push(cur-1),vis[cur-1];
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=2;i<=n+20;i++) ans[i]=inf,vis[i]=0;
    spfa();
    printf("%d\n",ans[n]);
}

記憶化搜索

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int maxn=1e6+20;
int n,ans[maxn][2],a[]={2,3,5,7,11,13};
queue<int> q;
int s(int n,int way){
    if(n==1) return 0;
    if(ans[n][way]) return ans[n][way];
    ans[n][way]=inf;
    for(int i=0;i<6;i++)
        if(n%a[i]==0) ans[n][way]=min(ans[n][way],s(n/a[i],1)+a[i]);
    if(!way) return ans[n][way];
    ans[n][0]=ans[n][1];
    for(int i=1;i<5;i++)
        ans[n][way]=min(ans[n][way],s(n+i,0)+i);
    return ans[n][way];
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    printf("%d\n",s(n,1));
}