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【DS】排序算法的穩定性
主要的排序算法有八種：直接插入排序，希爾排序（這兩種統稱爲插入排序），冒泡排序，快速排序（這兩種統稱爲交換排序），直接選擇排序，堆排序（這兩種統稱爲選擇排序），歸併排序，基數排序。今天我們就討論一下它們各自的穩定性。如果對算法不熟悉，可以查看我的另外幾篇博客，然後再來閱讀。
一、什麼是算法穩定性
考察排序算法的時候有一個很重要的特性，就是算法的穩定性：假定在待排序的記錄序列中，存在多個具有相同的關鍵字的記錄，若經過排序，這些記錄的相對次序保持不變，即在原序列中，ri=rj，且ri在rj之前，而在排序後的序列中，ri仍在rj之前，則稱這種排序算法是穩定的；否則稱爲不穩定的。
二、算法穩定性的重要性
算法穩定性爲什麼這麼重要呢？
1）在實際的應用中，我們交換的不一定只是一個整數，而可能是一個很大的對象，交換元素存在一定的開銷；
2）參照基數排序（後面會講），不穩定排序是無法完成基數排序的，講述完基數排序後，還會補充這裏的原因。
三、八大算法的穩定性
1）直接插入排序@排序算法之插入排序（Insertion Sort）
其大致原理是：將數組分爲無序區和有序區兩個區，然後不斷將無序區的第一個元素按大小順序插入到有序區中去，最終將所有無序區元素都移動到有序區完成排序。
我們假設一個數組，元素已經排序爲{1,5A,7,5B,9},其中前面三個已經排序完成，後面沒有排序，即前面三個是有序區，後面兩個是無序區，現在要將無序區的5B插入到有序區，則如果我們將元素插入到5A之前，我們需要往後移動兩個元素，如果插入到5A之後，則需要移動一個元素，因此我們選擇移動一個元素，而5A和5B也保持原來的順序，因而直接插入排序是穩定的。
2）希爾排序@排序算法之希爾排序（Shell Sort）
其大致原理是：又稱Gap縮小排序。先將序列按Gap劃分爲元素個數相同的若干組，使用直接插入排序法進行排序，然後不斷縮小Gap直至爲1，最後使用直接插入排序完成排序。希爾排序其實是直接插入排序的增強版。
我們來證明它是不穩定的，假設有一個數組{3,2A,2B,4}，我們要升序排列，按照算法，第一次Gap=2，即可以分爲{3,2B}和{2A,4}兩組，然後對每一組進行插入排序，可以排序成{2B,2A,3,4}，第二次Gap=1，由於插入排序是穩定的，所以2A和2B不會交換順序了。由此可以看到，希爾排序是不穩定的。
3）冒泡排序@排序算法之冒泡排序（Bubble Sort）
其大致原理是：將序列劃分爲無序和有序區，不斷通過交換較大元素至無序區尾完成排序。
熟悉冒泡排序的人一定知道，冒泡排序通過不斷的交換元素，將無序區的最大（最小）元素往無序區搬運，因而和插入排序一樣，爲了減少其交換次數，冒泡排序是穩定的。
4）快速排序@排序算法之快速排序（Quick Sort）
其大致原理是：不斷尋找一個序列的中點，將小於該中點的元素搬移到中點左邊，大於該中點的元素搬移到中點右邊，或者反過來。然後對中點左右的序列遞歸的進行排序，直至全部序列排序完成，使用了分治的思想。
關於算法的穩定性有一點本來是打算後面再講的，但是講到快速排序就一定要說了。讀者肯定注意到了，前面的插入排序和冒泡排序完全可以實現爲不穩定算法，只是在比較元素決定是否交換的時候，是否加上等於號而已。快速排序更加顯示了這一點，解釋如下：
在算法導論裏面，快速排序選擇都是元素序列的最後一個元素，假設元素序列如下{3,9,5A,6,8,5B}，這種情況下，和上面的情況一下，穩不穩定還是看判斷的時候是否出現等號，但是如果選擇不是這樣的，我們假設一種特殊狀況：{3,9,5A,5B,6,8,5C}，算法的實現是選擇中間的5B作爲中點，則不論等號與否，都是不穩定的。實際上，算法導論的選擇是非常有意義的，瞭解其算法過程的人可以看到，這樣的選擇極大的降低了交換元素的複雜度和移動元素的次數。算法導論中是加了等號的，即≤最後一個元素的值被移到了左邊，因而快速排序是穩定的。
5）直接選擇排序@排序算法之選擇排序（Selection Sort）
其大致原理是：將序列劃分爲無序和有序區，尋找無序區中的最小值和無序區的首元素交換，有序區擴大一個，循環最終完成全部排序。
我們還是假設一個序列{1,3,5,10A,10B,7}，看這個數列，假設前面三個是有序區，後面三個是無序區，則無序區中最小的元素是7，和無序區的首元素交換10A交換，則可以看到序列變成了{1,3,5,7,10B,10A}，然後繼續，無序區就剩下{10B,10A}，我們又可以看到，這裏又是一個等號問題，同樣，前面的交換是必然的，而後面的交換（如果等於也要交換）則不是必然的，爲了減少元素交換，直接選擇排序是不穩定的。
6）堆排序
其大致原理是：利用大根堆或小根堆思想，首先建立堆，然後將堆首與堆尾交換，堆尾之後爲有序區。
考慮序列{9,5A,7,5B}，按照堆排序的算法走一遍（算法導論中用的是最大堆，這個序列也是用最大堆來設計的），很快就可以發現，輸出序列爲{5B,5A,7,9}，而且與等號無關，因此堆排序是不穩定的。
7）歸併排序@排序算法之歸併排序（Merge Sort）
歸併排序請參考
其大致原理是：將原序列劃分爲有序的兩個序列，然後利用歸併算法進行合併，合併之後即爲有序序列。
歸併排序一樣是穩定的，但是歸併排序的穩定性並不是爲了減少元素交換次數，因爲它的算法實現中沒有元素交換這一概念。
8）基數排序
其大致原理是：將數字按位數劃分出n個關鍵字，每次針對一個關鍵字進行排序，然後針對排序後的序列進行下一個關鍵字的排序，循環至所有關鍵字都使用過則排序完成。具體請參見：算法總結系列之五: 基數排序(Radix Sort)
基數排序對多個關鍵字進行排序，並且這些關鍵字還是有優先級別的，對於整數來說，位數越高的數字優先級越高，而基數排序則是對優先級低的先排序，因此，基數排序對於整數是從個十百千萬一個個去排序的。注意，這裏必須使用穩定排序，否則，就會讓原先的地位排序成果毀於一旦，最終的不到正確的排序結果。
基數排序不過是一種思想，其每一位的排序都需要穩定算法，否則無法得到正確的結果。
三、總結
算法穩定性到底爲什麼如此重要？上面提到的八種算法可以看到，其實很多算法都是可以實現穩定和不穩定兩種情形的，那爲什麼選擇穩定？一個基本原因就是減少元素交換次數，但是也有像歸併排序這樣的算法，與交換無關，那麼穩定算法的意義在哪裏呢？
穩定算法在單次排序的時候，意義並不顯著，雖然上面提到減少元素交換，其實鏈表是可以避免這個消耗的，只不過操作比較複雜，其意義顯示在基數排序中，即，我們要對多個關鍵詞多次排序，這個時候，就一定要使用穩定算法。舉一個現實的例子，比如排序的對象是人名，假設有以下兩個人名：
Smith, Alfred
Smith, Zed我們先按first name排序，再按照last name排序，按照first name排序完成以後，就是上面的樣子，再去按照last name排序，如果算法不穩定，則順序極就會顛倒，是不是？這裏的last name和first name完全可以抽象成基數排序的不同位，不是穩定算法，就不能得到正確結果。