藍橋杯算法提高 遞推求值 【矩陣快速冪】

  算法提高 遞推求值  

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錦囊1

 

錦囊2

 

錦囊3

 

問題描述

　　已知遞推公式：

　　F(n, 1)=F(n-1, 2) + 2F(n-3, 1) + 5,

　　F(n, 2)=F(n-1, 1) + 3F(n-3, 1) + 2F(n-3, 2) + 3.

　　初始值爲：F(1, 1)=2, F(1, 2)=3, F(2, 1)=1, F(2, 2)=4, F(3, 1)=6, F(3, 2)=5。
　　輸入n，輸出F(n, 1)和F(n, 2)，由於答案可能很大，你只需要輸出答案除以99999999的餘數。

輸入格式

　　輸入第一行包含一個整數n。

輸出格式

　　輸出兩行，第一行爲F(n, 1)除以99999999的餘數，第二行爲F(n, 2)除以99999999的餘數。

樣例輸入

4

樣例輸出

14

21

數據規模和約定

　　1<=n<=10^18

 

 

第一次做矩陣快速冪的題目開始做的一塌糊塗，看到了這篇文章的啓發http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2013/05/19/3087648.html解釋的很明白。

題目分析：

構造一個1×8的矩陣[f(n-1,1),f(n-1,2),f(n-2,1),f(n-2,2),f(n-3,1),f(n-3,2),5,3]

，根據遞推關係，可以通過乘以一個8×8的矩陣A，得到矩陣[f(n,1),f(n,2),f(n-1,1),f(n-1,2),f(n-2,1),f(n-2,2),5,3]，算出矩陣A，即：

0,1,1,0,0,0,0,0,
1,0,0,1,0,0,0,0,
0,0,0,0,1,0,0,0,
0,0,0,0,0,1,0,0,
2,3,0,0,0,0,0,0,
0,2,0,0,0,0,0,0,
1,0,0,0,0,0,1,0,
0,1,0,0,0,0,0,1

之後再利用矩陣快速冪的方法得到結果。

AC代碼：

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;
struct matrix
{
    long long a[8][8];
};
matrix multiply(matrix x,matrix y,int m,int n,int s)//m*s   s*n  矩陣相乘
{
    matrix temp;
    memset(temp.a,0,sizeof(temp.a));
    for(int i=0;i<m;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
                for(int k=0;k<s;k++)
                    temp.a[i][j]=(temp.a[i][j]+(x.a[i][k]*y.a[k][j])%99999999)%99999999;
    return temp;
}
int main()
{

    matrix temp={
                       0,1,1,0,0,0,0,0,
                       1,0,0,1,0,0,0,0,
                       0,0,0,0,1,0,0,0,
                       0,0,0,0,0,1,0,0,
                       2,3,0,0,0,0,0,0,
                       0,2,0,0,0,0,0,0,
                       1,0,0,0,0,0,1,0,
                       0,1,0,0,0,0,0,1
                      };
    matrix res;
    long long f[8]={6,5,1,4,2,3,5,3},sum1,sum2,n;
    memset(res.a,0,sizeof(res.a));
    for(int i=0;i<8;i++)
        res.a[i][i]=1;
    cin>>n;
    if(n==1)
        cout<<"2"<<endl<<"3"<<endl;
    if(n==2)
        cout<<"1"<<endl<<"4"<<endl;
    if(n==3)
        cout<<"6"<<endl<<"5"<<endl;
    if(n>=4)
    {
    n=n-3;
    while(n)//矩陣快速冪
    {
        if(n&1)
        {
            res=multiply(res,temp,8,8,8);
        }
        n>>=1;
        temp=multiply(temp,temp,8,8,8);
    }
    sum1=sum2=0;
    for(int i=0;i<8;i++)
    {
        sum1=(sum1+(f[i]*res.a[i][0])%99999999)%99999999;
        sum2=(sum2+(f[i]*res.a[i][1])%99999999)%99999999;
    }
    cout<<sum1<<endl<<sum2<<endl;
    }

    return 0;
}