文章作者：duguyue100
今天就來討論一下貪心法中另一個解決最小生成樹的算法：prim算法。在解決最小生成樹的算法中，prim算法應該是最優的了，時間複雜是O(n² ㏒n)。下面我們來了解一下算法的運作原理。 在prim算法中，最小生成樹是一步步建立起來的，他不同於kruskal算法的方面就是kruskal算法剛開始構造的時候是支離破碎的線連接起來的，而prim算法則是一步一步拓展來的。剛開始的時候，令一個無向圖中的任意點（以下稱x）作爲起點。然後遍歷與x連同的所有點，找出最小的點並併入最小生成樹的集合中，這樣一步一步，直到把圖中所有的點都併入生成樹的集合中，而他們權值的和，也就是最小的了。另外，再你每次把一條邊並上之後，你要考慮的不只是這一條邊的聯通的邊，而是把他們當做一個整體，將所有點除了已經連接上的邊外剩下所有的邊中選擇一個最小的。這但最重要，因爲樹結構不是一條線，而是一個真正的樹一樣的形狀。
我們先不給出爲什麼這樣做就是正確的證明。我們知道，對於一個無向圖，他的最小生成樹有可能只有1棵，也有可能是很多棵，我們的算法只是要找到其中一種，也就是說我們並不關心到底有多少最小生成樹，所以我們應該允許結果有不一樣的時候，比如對於一個圖，分別用kruskal和prim算法得到了不同的最小生成樹，但只要兩個權值是一樣的，那麼我們就可以說我們得到的都是正確結果。
好的，我們來具體從圖上看一下prim算法到底是怎麼運作的。我們選用的圖還是上次講kruskal算法的時候用的那個圖，如下：
prim算法運作圖，假定B點是初始點，過程如下：
怎麼？不相信有這麼神奇？那麼你自己動手試一下用C作爲起始點看看。
那麼怎麼實現呢？我們下面給出算法過程：
首先是一個帶權連通的無向圖G=(V,E)。輸出的時候是圖G的一棵最小生成樹：
第一步：令x是V中任意頂點，令X={x}，Y=V-{x}；//最小生成樹根的初始化
第二步：從E中選擇一條邊(u,v),使得u∈X，v∈Y，並且(u,v)是頂點集X與Y之間的邊中權值最小的；//構造生成樹規則
第三步：將u連接到v，令X=X∪{v}，Y=Y∪{v}；//刪去已經加入的邊，這一步千萬不能忘
第四步：如果Y是空的，那麼終止，那麼產生的樹是最小生成樹；否則，返回第二步；//如果是空的，就表明已經生成完畢，因爲Y中保存着圖一共有多少個頂點，但是我們不要驗證集合X，因爲我們難以統計圖中一共有多少個頂點。如果不是空的，那麼回到第二步，繼續構造生成樹，在這裏，建議利用相當於PASCAL中的repeat循環。因爲既然是帶權連通無向圖，一定有2個以上點，所以一定要至少執行一次才能看出生成樹到底是什麼。
好了，至於prim算法的證明，我在這裏就不多講了。因爲大家先要理解了這個算法是怎麼運作的，在總結完貪心法的一些算法之後，我會發出一個證明的總彙，因爲數學的東西講多了，雖然能幫助我們從根上了結一個算法的實現，但是講了這麼多，我覺得大家一定很暈，先掌握了。理解是以後的事情。