回顧凸包構造算法：極點法、極邊法和增量構造法，其複雜度分別爲O(n^4)、O(n^3)和O(n^2)，效率經過優化已經大大提高了。接下來引入一種新的算法——Jarvis March，其複雜度也是O(n^2)，但是相較於增量構造在最好情況下效率是較高的。
一、選擇排序
依舊是先回顧一個經典算法：選擇排序（selection sort）。排序過程可以歸結爲下圖：
對比插入排序，可以發現sorted部分變成了從後向前擴張。算法的整體思路依然是增量式的，每次選取unsorted部分中的最大元素，和sorted部分前一個元素交換，重複上述過程完成sorted部分的擴張最終使得序列有序。
和插入排序每次隨便從unsorted部分選取元素不同，選擇排序每次選取出的unsorted最大元素放在sorted前一個位置上，也就意味着整個unsorted部分必然不會超過sorted部分。從算法整體框架考慮，每次我們都是維護一個局部解（也就是sorted部分），然後從尚未處理的部分（也就是unsorted部分）找到一個與當前局部解“緊密相關的元素”（相當於選取的最大元素）。這個思想爲解決凸包問題帶來了新思路。
二、策略
再來考慮爲何極邊法複雜度高達O(n^3)。實際上我們要對點集中所有邊進行遍歷，這需要n^2複雜度，然後對每個邊進行鑑別，又需要n複雜度，因此總體複雜度高達O(n^3)。那麼該如何改進呢？這就可以運用選擇排序的思想：將下一個要查找的邊縮小到一個小範圍，而非遍歷所有邊。
先對算法的大致過程有直觀的認識（標識爲：已找到極邊數/所有極邊數）：
首先從任何一個極點（後面說明如何找到這個點）開始（圖中0/5），然後找到一條以這個極點爲端點的極邊（1/5）。接着沿着極邊另一個端點（endpoint）出發，再找出下一條極邊（2/5）。如此反覆操作，最終會找到一條以最初極點爲endpoint的極邊，得到一個封閉的環，凸包也構造完成。凸包構造過程類似於選擇排序中sorted不斷向前擴展一樣，不斷擴展局部解，最後得到問題最終解。
凸包構造的問題由此分解爲一個個子問題：如何從endpoint出發找到下一條極邊。
三、繼續to left test
考慮以下一般情況：
我們從極點o開始尋找極邊，假設當前找到的極邊是ik，接下來要做的工作是找到從k出發的另一條極邊ks，即找到極點s。
顯然，s來自於其他那些尚未處理的點中，那麼s與其他點相比有什麼特徵？觀察發現，ik作爲一條極邊，它的右側肯定都是空的，所有其他點都在ik左側。畫出k與其他候選點的有向直線，例如下圖中的ks，kt：
注意圖中紅色標出的角度，可以看出ks與ik的夾角比kt小，也就是ks比kt相較於ik偏左的角度更小。實際上ks偏左的角度比其他任何從k出發的邊都小，這就是s點的判定依據。
這樣就找到了從其餘點中選擇s點的思路：任選兩個點，從k出發過這兩點做有向邊，看哪個偏左的角度更小就留下，另一點丟棄。然後再拿一點與留下的點比較，反覆這個過程，最終留下的就是要找的s點。
問題至此轉化爲：如何比較兩條有向邊（例如ks和kt）相較於另一有向直線（例如ik）誰偏左的角度更小。
當然可以通過計算三角函數的方法來比較，這是最直觀的數學思維。但是這樣計算十分複雜，更重要的是引入了誤差。這時候又要使用to left test這個基礎方法來解決問題了。
具體做法就是以在ks和kr中以任意個爲基準（如以ks爲基準），對另一點（如t）做to left test。上圖點t和有向邊ks的to left test結果爲true，t在ks左邊，因此ks偏左的角度更小，捨棄點t。
類比選擇排序來理解，sorted部分就相當於已得到的極邊（從極點o開始到ik的首尾相連的極邊），unsorted部分相當於其餘點，從unsorted部分取出極大值就相當於找到點s——能構成最小偏角的點。選擇排序中的選擇過程需要比較元素大小，就要由一種比較器完成，而上述比較偏角的過程也可以抽象爲一種比較器的操作。構造凸包的算法框架與選擇排序相同，只是比較器替換爲to left test而已。
//此處只是考慮一般情況，一些特殊細節未進行處理。例如在st上有s和s'兩點，這兩點的取捨問題未考慮。當然爲了理解算法整體框架忽略特殊情況是很必要的。
然後考慮一個細節問題，也就是上文提到的算法最開始第一個極點如何確定。任何一個極點都可以使用，我們沒必要去計算出哪個點是極點。可以選取y座標最小的點，也就是最低點，在沒有退化的情況下，這個點一定是一個極點。如果情況退化，有多個最低點（如例圖中所示），我們就去選x座標最小的那個點，也就是最左邊的點即可。這種方法選出的點稱爲lowest-then-leftmost point（LTL）。注意選取的規則的先後順序，先選lowest，若點不唯一再選leftmost。
四、Jarvis March
類比選擇排序的過程，我們得到的凸包構造算法就是Jarvis March算法，又稱gift wrapping算法（算法過程如包裝禮物一樣）。接下來看算法具體實現方法。
bool ToLeft(Point p, Point q, Point s)
{
int area2 = p.x * q.y - p.y * q.x
+ q.x * s.y - q.y * s.x
+ s.x * p.y - s.y * p.x;
return area2 > 0; //左側爲真
}
int ltl(Point S[], int n)
{
int LTL = 0;
for (int k = 1; k < n; k++)
if (S[k].y < S[LTL].y ||
(S[k].y == S[LTL].y &&
S[k].x < S[LTL].x))
LTL = K;
return LTL;
}
void Jarvis(Point S[], int n)
{
for (int = 0; k < n; k++)
S[k].extreme = false; //首先將所有點標記爲非極點
int LTL = ltl(s, n); //找到LTL
int k = LTL; //將LTL作爲第一個極點
do
{
S[k].extreme = true; //判定爲極點
int s = -1;
//選取下一個極點，每次比較兩個點s和t，
//做點t和有向邊ks的to left test，最終找到s
for (int t = 0; t < n; t++)
if (t != k && t != s && //除了k和s外每個點
(s == -1 || !ToLeft(P[k], P[s], P[t]))) //
s = t; //如果t在s右邊
S[k].succ = s; //k點的後繼爲s
k = s; //s變爲下一次查找的起點
} while (LTL != k)
}
最後分析Jarvis March算法相較於增量構造法的優勢。二者都是O(n^2)的複雜度，Jarvis March算法的優勢在於其的“輸出敏感性（output sensitive）”。考慮點集S，共有n個點，來構造S上的凸包。
何爲“輸出敏感性”？Jarvis March算法每次新加入一條邊都會耗費n的複雜度，但是構造過程一共會加入的邊數往往比n少。如下圖（設n = 7）：
在非退化爲共線的前提下，最好情況爲只加入3條邊（複雜度爲O(3n)），最壞情況爲所有點都是極點，加入n-1條邊（複雜度爲O(n^2)）。實際情況中最壞情況出現的機率很小，我們引入一個指標h來衡量凸包的極邊數（the size of convex hull）：
h = |CH(S)|
Jarvis March算法算法的複雜度更準確的表示爲O(nh)。h又由最終輸出結果，即凸包本身來決定，輸出結果決定了構造過程的複雜度，這就是所謂的“輸出敏感性”。這種類型的算法又被稱爲output sensitive algorithm。這種特性在其它凸包算法中也會體現。
本文是學堂在線課程《計算幾何》的筆記，幫助理解和記錄思考過程，不夠嚴謹請見諒。