可持久化。

強制轉發一波柱子恆的講解，有些題題解我也有QAQ。

最近跑來打數據結構，於是我決定搞一發可持久化，然後發現……一發不可收啊……

對於可持久化數據結構，其最大的特徵是“歷史版本查詢”，即可以回到某一次修改之前的狀態，並繼續操作；而這種“歷史版本查詢”會衍生出其他一些強大的操作。

今天，我們主要講解可持久化線段樹。其實，它的另外一個名字“主席樹”似乎更加爲人所知（主席%%%）。

主席樹與普通的線段樹相比，多出來的操作是在修改時複製修改的一條鏈，這個操作的過程大概長下面這樣。

至於爲什麼要這樣做……

對數據進行可持久化，一種樸素的想法是每一次修改新建一棵線段樹，但是，時間複雜度和空間複雜度都是不允許我們做這樣的操作的。

我們思考一下，每一次修改，只有一條鏈上的節點被修改，而其他的節點信息都沒有變。因此，我們對這一次修改新建包括一個新根在內的log_n個節點，其他的節點我們與上一課樹共用。這樣一來，我們既能保存之前的信息，又能進行修改操作。

主席樹插入操作代碼見下，有指針和數組2種版本：

指針版本：

 1 void insert(node *&a,node *b,int l,int r,int pos)
 2 {
 3     a->cnt=b->cnt+1;//cnt表示這一棵樹裏的數據個數，a是新樹，b是舊樹，下同
 4     int mi=(l+r)>>1;
 5     if(l==r)return;
 6     if(pos<=mi)
 7     {
 8         a->ch[1]=b->ch[1],a->ch[0]=newnode();
 9         insert(a->ch[0],b->ch[0],l,mi,pos);
10     }
11     else 
12     {
13         a->ch[0]=b->ch[0],a->ch[1]=newnode();
14         insert(a->ch[1],b->ch[1],mi+1,r,pos);
15     }
16     a->update();
17 }

數組版本：

1 void insert(int rt1,int rt2,int l,int r,int pos)
2 {
3     if(l==r){cnt[rt1]=cnt[rt2]+1;return;}//cnt表示數據個數,rt1是新樹，rt2是舊樹
4     lc[rt1]=lc[rt2],rc[rt1]=rc[rt2];
5     int mi=(l+r)>>1;
6     if(pos<=mi)lc[rt1]=++tot,insert(lc[rt1],lc[rt2],l,mi,pos);
7     else rc[rt1]=++tot,insert(rc[rt1],rc[rt2],mi+1,r,pos);
8     cnt[rt1]=cnt[lc[rt1]]+cnt[rc[rt1]];
9 }

這一部分的基礎題大概有cogs2554（http://cogs.pro/cogs/problem/problem.php?pid=2554 ），這就是一道主席樹的入門水題，完全沒有了解的同學可以通過這道題來入門。

可能有同學注意到了上面插入代碼的cnt變量，它其實有大用：接下來，我們考慮用主席樹進行一些更高級的操作：維護靜態的區間第k大（小）值。

爲什麼主席樹可以維護這個?

在對於一個序列查詢k大（小）值時，我們把主席樹建成權值線段樹，每插入一個數就新建一個版本。這時，不難看出主席樹具有區間可減性：

對於某一個區間【L,R】插入b個數以後區間中樹的個數，減去【L,R】插入a-1個數以後區間中數的個數，

結果就是區間【a，b】中權值在【L,R】的數的個數。這樣利用cnt變量不斷查詢，我們就可以找到某一個區間中第k大（小）的值

我們在代碼實現時，只需要同時傳入2個節點，並且比較區間數據個數之差與k的大小關係，進行移動即可

查詢操作代碼見下：

 1 inline int query(int l,int r,int u,int v,int k)
 2 {
 3     node *a=root[u-1],*b=root[v];
 4     while(l<r)
 5     {
 6         int tmp=b->ch[0]->cnt-a->ch[0]->cnt,mi=(l+r)>>1;
 7         if(tmp>=k)a=a->ch[0],b=b->ch[0],r=mi;
 8         else a=a->ch[1],b=b->ch[1],k-=tmp,l=mi+1;
 9     }
10     return r;
11 }