【題解】LuoGu5299：[PKUWC2018]Slay the Spire

原題傳送門
期望 （計數）DP
看起來的期望，他就是讓你輸出總和

首先明確一個出牌策略（假設已經拿到了m張牌）
因爲所有強化牌都大於1，所以按照強化牌權值從大到小能用就用
最多用$(k-1)$張強化牌，不過強化牌不夠我也沒辦法
剩下的牌我出攻擊牌，這樣的策略是最優的

需要找出一個$O(n^2)$的做法

如果枚舉最終$m$張牌中有$i$張強化牌
並令$f_{i,j}$表示前$i$張強化牌選了$j$張，第$i$張牌一定選的總強化乘積和
$g_{i,j}$表示前$i$張攻擊牌選了$j$張，第$i$張牌一定選的總攻擊和
根據這三個玩意可以推出答案，分類討論

• $i<k-1$，這時候所有強化牌應該全出，那麼攻擊牌出$(k-i)$張，如果枚舉前$j$張攻擊牌裏出$(k-i)$張牌，就是$g_{j,k-i}$，但是總共要選擇$m$張牌，所以剩下的牌從$n-j$張攻擊牌裏去選，方案數爲$C_{n-j}^{m-k}$
  所以$ans=\sum_{j=0}^{n}f_{j,i}*\sum_{j=0}^{n}(g_{j,k-i}*C_{n-j}^{m-k})$
• $i>=k-1$，這時候出$(k-1)$張強化牌，剩下的強化牌隨便選，出1張攻擊牌，剩下的攻擊牌也隨便選
  所以$ans=\sum_{j=0}^{n}(f_{j,k-1}*C_{n-j}^{i-k+1})*\sum_{j=0}^{n}(g_{j,1}*C_{n-j}^{m-i-1})$

問題變成怎麼求$f,g$
令$F_{i,j}$表示前$i$張強化牌選了$j$張，$G_{i,j}$同理
與$f,g$的定義相比只是少了是否強制選擇第$i$張的限制條件，作爲輔助dp數組

轉移方程：

• $F_{i,j}=F_{i-1,j}+F_{i-1,j-1}*a_i$
• $f_{i,j}=F_{i-1,j-1}*a_i$
• $G_{i,j}=G_{i-1,j}+G_{i-1,j-1}+b_i*C_{i-1}^{j-1}$
• $g_{i,j}=G_{i-1,j-1}+b_i*C_{i-1}^{j-1}$

再注意一下邊界就好了

Code：

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 3010
#define LL long long
using namespace std;
const LL qy = 998244353;
LL fac[maxn], inv[maxn], f[maxn][maxn], g[maxn][maxn], F[maxn][maxn], G[maxn][maxn], a[maxn], b[maxn], ans;
int n, m, k;

inline int read(){
	int s = 0, w = 1;
	char c = getchar();
	for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') w = -1;
	for (; isdigit(c); c = getchar()) s = (s << 1) + (s << 3) + (c ^ 48);
	return s * w;
}

bool cmp(int x, int y){ return x > y; }
LL C(int n, int m){ return m > n ? 0 : fac[n] * inv[n - m] % qy * inv[m] % qy; }

LL pow(LL n, LL k){
	if (!k) return 1;
	LL sum = pow(n, k >> 1);
	sum = sum * sum % qy;
	if (k & 1) sum = sum * n % qy;
	return sum;
}

int main(){
	fac[0] = 1;
	for (int i = 1; i < maxn; ++i) fac[i] = fac[i - 1] * i % qy;
	inv[maxn - 1] = pow(fac[maxn - 1], qy - 2);
	for (int i = maxn - 2; i >= 0; --i) inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % qy;
	int T = read();
	while (T--){
		n = read(), m = read(), k = read(), ans = 0;
		for (int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = read();
		for (int i = 1; i <= n; ++i) b[i] = read();
		sort(a + 1, a + 1 + n, cmp);
		sort(b + 1, b + 1 + n, cmp);
		F[0][0] = f[0][0] = 1;
		for (int i = 1; i <= n; ++i)
			for (int j = 0; j <= i; ++j){
				F[i][j] = F[i - 1][j], G[i][j] = G[i - 1][j];
				if (j) (F[i][j] += (f[i][j] = F[i - 1][j - 1] * a[i] % qy)) %= qy,
					   (G[i][j] += (g[i][j] = (G[i - 1][j - 1] + b[i] * C(i - 1, j - 1) % qy) % qy)) %= qy;
			}
		for (int i = 0; i <= k - 1; ++i){
			LL s1 = 0, s2 = 0;
			for (int j = i; j <= n; ++j) (s1 += f[j][i]) %= qy;
			for (int j = k - i; j <= n; ++j) (s2 += g[j][k - i] * C(n - j, m - k) % qy) %= qy;
			(ans += s1 * s2 % qy) %= qy;
		}
		for (int i = k; i <= min(m, n); ++i){
			LL s1 = 0, s2 = 0;
			for (int j = k - 1; j <= n; ++j) (s1 += f[j][k - 1] * C(n - j, i - k + 1) % qy) %= qy;
			for (int j = 1; j <= n; ++j) (s2 += g[j][1] * C(n - j, m - i - 1) % qy) %= qy;
			(ans += s1 * s2 % qy) %= qy;
		}
		printf("%lld\n", ans);
	}
	return 0;
}