GDOI2013 整數分拆

題目描述

題目要求求一個正整數n 的分拆成k 個數的方案。其中要求滿足。
1、a1+a2+...+ak=n
2、a1∗b1≤a2
3、a2∗b2≤a3
…
k、ak−1∗bk−1≤ak
其中b 會讀入。
n≤105 ,k≤10 ,bi≤1000 .

解題思路

我們可以把原式改寫：
a1=a1
a2=a1∗b1+x1
a3=a2∗b2+x2=a1∗b1∗b2+x1∗b2+x2
…
a1+a2+...+ak=n .
這樣我把前面的k 個等式帶入最後的等式，就得到了一個只含有a1 和xi 的方程，其中a1≥1 .求方程的解的個數就行了。

設fi,j 表示前i 個未知數前i 項的和爲j 的方案數。這樣可以O(1) 轉移，總時間O(nk) .

參考代碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define maxn 100005
#define maxk 15
#define mo 1000000007
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define ll long long
using namespace std;

int b[maxk],s[maxk];

int T,n,k;

int f[maxk][maxn];

ll x[maxk];

int main(){
    scanf("%d",&T);
    while (T--) {
        scanf("%d%d",&n,&k);
        fo(i,1,k-1) scanf("%d",&b[i]);
        s[0]=1;
        bool ok=0;
        fo(i,1,k-1) {
            s[i]=s[i-1]*b[i];
            if (s[i]>n) {
                ok=1;
                break;
            }
        }
        if (ok) {
            puts("0");
            continue;
        }
        mem(f,0);
        fo(i,0,k-1) {
            x[i]=1;
            fo(j,i+1,k-1) {
                x[i]+=s[j]/s[i];
                if (x[i]>n) {
                    x[i]=n+1;
                    break;
                }
            }
        }
        fo(i,1,n / x[0]) 
            f[0][i*x[0]]=1;
        fo(i,1,k-1) {
            fo(j,0,n) f[i][j]=f[i-1][j];
            fo(j,x[i],n) f[i][j]=(f[i][j]+f[i][j-x[i]]) % mo;
        }
        printf("%d\n",f[k-1][n]);
    }
    return 0;
}