UVAlive 6131 dp+斜率優化

這道題和06年論文《從一類單調性問題看算法的優化》第一道例題很相似。

題意：給出n個礦的重量和位置，這些礦石只能從上往下運送，現在要在這些地方建造m個heap，要使得，sigma距離*重量最小。

思路：O(n ^ 3)的DP解法是很容易想出來的。

dp[i][j] 表示第i個礦石點是j個heap的最小花費。

dp[i][j] = min(dp[i][j] , dp[k][j - 1] + sigma(sum[i] - sum[k])) 。

其中i , j , k 分別要一重循環，所以複雜度達到10 ^ 9。

這顯然是TLE的，所以需要優化。

我們可以來看狀態轉移方程，dp[i][j] = dp[k][j - 1] +( sum1[i] - sum1[k] ) * a[i] - (sum2[i] - sum2[k]) .其中sum1是1到i的總重量，sum2表示1到i的總重量*距離。

這樣，我們就可以進行斜率優化了。

所以這一維就降成O（1）了。那總的複雜度就是O（n ^ 2）。

#include <set>
#include <map>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <vector>
#include <iomanip>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define Max 2505
#define FI first
#define SE second
#define ll long long
#define PI acos(-1.0)
#define inf 0x7ffffffffffffll
#define LL(x) ( x << 1 )
#define bug puts("here")
#define PII pair<int,int>
#define RR(x) ( x << 1 | 1 )
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define REP(i,s,t) for( int i = ( s ) ; i <= ( t ) ; ++ i )

using namespace std;

#define N 1111

ll sum1[N] ;
ll sum2[N] ;
ll dp[N][N] ;
int qe[N] ;
ll a[N] , b[N] ;
int n , m ;
//分子
ll getU(int j , int k , int z){
    return dp[k][j - 1] + sum2[k] - (dp[z][j - 1] + sum2[z]) ;
}
//分母
ll getD(int k , int z){
    return sum1[k] - sum1[z] ;
}

ll getDP(int i ,int j ,int k){
    return dp[k][j - 1] + (sum1[i] - sum1[k]) * a[i] - (sum2[i] - sum2[k]) ;
}

int main() {

    while(cin >> n >> m){
        for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ )cin >> a[i] >> b[i] ;
        sum1[0] = sum2[0] = 0 ;
        for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ ){
            sum1[i] = sum1[i - 1] + b[i] ;
            sum2[i] = sum2[i - 1] + a[i] * b[i] ;
//            cout << sum1[i] << " " << sum2[i] << endl;
        }
        for (int i = 0 ; i <= n ; i ++ )
            for (int j = 0 ; j <= m ; j ++) dp[i][j] = inf ;
        dp[0][0] = 0 ;

        for (int j = 1 ; j <= m ; j ++ ){
            int head = 0 , tail = 0 ;
            qe[tail ++ ] = 0 ;
            for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ ){
                while(head + 1 < tail && getU(j , qe[head + 1] , qe[head]) <= a[i] * getD(qe[head + 1] , qe[head]))
                head ++ ;
                dp[i][j] = getDP(i , j , qe[head]) ;

                while(head + 1 < tail && getU(j , i , qe[tail - 1]) * getD(qe[tail - 1] ,qe[tail - 2]) <=
                      getU(j , qe[tail - 1] , qe[tail - 2]) * getD(i , qe[tail - 1]))
                      tail -- ;
                qe[tail ++ ] = i ;
            }
        }
        cout << dp[n][m] << endl ;
    }
    return 0 ;
}