一、定義
線段樹（Segment Tree）是一棵完全二叉樹。從他的名字可知，樹中每個節點都代表一個線段，或者說一個區間。事實上，樹的根節點代表整體區間，左右子樹分別代表左右子區間。一個典型的線段樹如下圖所示：
線段樹主要有三個性質：
（1）長度範圍爲[1,L]的一棵線段樹的的深度不超過log2（L-1）+1 （根節點深度爲0）。
（2）線段樹上的節點個數不超過2L個。
（3）線段樹把區間上的任意一條線段都分成不超過2log2（L）段。
線段樹的結構在這，可是有啥用呢？通常，樹上每個節點都維護相應區間的一些性質，如區間最大值，最小值，區間和等，這些維護的信息纔是重頭戲。
二、操作
（1）創建線段樹：
由線段樹的結構，很容易構造出樹節點的結構，並且寫出線段樹的遞歸構造算法。
樹節點：
class Node{
int left,right;
Node leftchild;
Node rightchild;
int minval; // 區間的最小值
int maxval; // 區間的最大值
int sum; // 區間和
int delta; // 區間延時標記
Node(int left,int right)
{
this.left=left;
this.right=right;
this.sum=0;
this.delta=0;
leftchild=null;
rightchild=null;
}
}
public void buildSegTree(Node root)
{
if(root.left==root.right){
root.minval=num[root.left];
root.maxval=num[root.left];
root.sum=num[root.left];
return;
}
int mid=root.left+(root.right-root.left)/2;
Node left=new Node(root.left,mid);
Node right=new Node(mid+1,root.right);
root.leftchild=left;
root.rightchild=right;
buildSegTree(root.leftchild);
buildSegTree(root.rightchild);
root.minval=min(root.leftchild.minval,root.rightchild.minval);
root.maxval=max(root.leftchild.maxval,root.rightchild.maxval);
root.sum=root.leftchild.sum+root.rightchild.sum;
}對線段樹的操作主要有兩種，一種是點修改和對應的查詢，另一種是區間修改和對應的查詢。
（2.1）點修改問題的一個典型例子是RMQ（範圍最小值問題），給定有n個元素的數組A1、A2……An，定義以下兩操作：
Update（x，v）:把Ax修改爲V
Query（L，R）:計算min{AL,AL+1,……AR}
若只對數組進行線性維護，每次用一個循環來計算最小值，時間複雜度是線性的。下面來看看在線段樹上進行維護的方法。
更新線段樹時，顯然要更新線段[x,x]對應的節點的信息（最小值），而線段[x,x]中的最小值就是更改後的v，然後還要更新所有祖
先節點的信息，祖先節點的最小值可以由左右子孫節點的最小值綜合得到。這樣，遞歸的算法如下：
void update(Node root,int pos,int res) //將pos位置的值更新爲res
{
int mid=root.left+(root.right-root.left)/2;
if(root.right==root.left) //葉節點，直接更新pos
{ root.minval=res; //最小值
root.maxval=res; //最大值
root.sum=res; //區間和
return;
}
else{
if(pos<=mid) //先遞歸更新左子樹或右子樹
update(root.leftchild,pos,res);
else
update(root.rightchild,pos,res);
root.minval=min(root.leftchild.minval,root.rightchild.minval); //最後計算本節點的信息
root.maxval=max(root.leftchild.maxval,root.leftchild.maxval);
root.sum=root.leftchild.sum+root.rightchild.sum;
}
}在查詢時，沿着根節點從上到下找到待查詢線段的左邊界和右邊界，則夾在中間的所有葉子節點不重複地覆蓋了整個查詢線段。舉
個例子，查詢[0,3]段的最小值。從根節點開始向下查找，最後落到[0,2]和[3,3]兩個節點上，整段的最小值可由這兩個子段綜合得到。
查詢時，樹的左右各有一條“主線”，每層最多有兩個節點向下衍伸，因此最後查詢到的子節點不超過2h個（性質3）。這其實就是將查詢線段分解爲不超過2h個不相交的並。再通過這些子區間的信息得到整體區間的信息。代碼如下：
int query(Node root,int l,int r)
{
if(l<=root.left&&r>=root.right) //區間[l,r]將目前查詢的節點範圍包括進去了
{
return root.minval;
}
int ans=Integer.MAX_VALUE;
int mid=root.left+(root.right-root.left)/2;
if(l<=mid) ans=min(ans,query(root.leftchild,l,r)); //當前節點沒有被[l,r]包括，但是[l,r]和節點左半部分有交集
if(r>mid) ans=min(ans,query(root.rightchild,l,r)); //當前節點沒被[l,r]包括，但是[l,r]和節點右半部分有交集
return ans;
}（2.2）區間修改查詢問題，要比點修改複雜一些，定義如下兩個操作：
Add（L，R，v）：把AL、AL+1……AR的值全部加上v
Query（L，R）：計算AL、AL+1……AR區間和
點修改最多修改logn個節點，但是區間修改最壞情況下會影響到數中的所有節點。這裏要意識到,其實區間修改也是針對區間的操作。可以使用上面查詢區間的思想，將一個區間分成多個子區間，再對每個子區間進行修改，而這些子區間覆蓋的子區間節點則不進行修改。這樣可以保證修改的時間複雜度也爲O（logn）。
這些選定的子節點被更改後，其父親節點的信息只要簡單綜合，就能得到正確的修改。但是，其子節點的信息卻沒有得到更改。
還是用開頭那個圖的來舉例子：
(1).給[0,3]區間裏的每個值增加1。從根節點遍歷下去，可以選取[0,2]和[3,3]，對這兩個區間維護的區間和進行修改。[3,4]的區間和可以得到正確更新([3,3]+[4,4])，進一步，[0，4]的區間和也可以得到更新[0,2]+[3,4]。
(2).在(1)的操作基礎上，給[2,3]區間中的每個值加1，還是從根節點往下找，會找到[2,2]和[3,3]這兩個區間,其中[3,3]區間中的值直接加1就可以了。但是，[2,2]區間中的值要加2，因爲在(1)中，只更新了[0,2]，更新信息沒有在[2,2]和[0,0]中體現出來。
這裏，要引入非常關鍵的延時標記，其關鍵思想是：我決定更新一個選定的區間，但子區間先不更新。等到要訪問子區間的時候，再將父親區間中累計的更新應用到子區間上。
這需要在每個節點上維護一個延時標記，每次更新操作都要記錄到其中。若是下次要訪問子節點，需要將父親節點的更改累計到左右子節點的延時標記上，並根據父親節點的延時標記對左右子節點的信息進行更改。之所以要將父節點的更改累計而不是直接替換到左右子節點上，是因爲可能有其他的操作對子節點進行了更新。若是直接替換，可能將其他操作的更新覆蓋了，下次訪問子節點的子節點時，會產生不正確的更新。
void pushDown(Node root)
{
if(root.delta>0)
{
root.leftchild.delta+=root.delta;
root.rightchild.delta+=root.delta;
root.leftchild.sum+=(root.leftchild.right-root.leftchild.left+1)*root.delta;
root.rightchild.sum+=(root.rightchild.right-root.rightchild.left+1)*root.delta;
root.delta=0;
}
}
void matain(Node root)
{
root.sum=root.leftchild.sum+root.rightchild.sum;
}
void segmentAdd(Node root,int l,int r,int a)
{
if(root.left>=l&&root.right<=r)
{
root.delta+=a;
root.sum+=(root.right-root.left+1)*a;
return;
}
pushDown(root); //要訪問子節點，若本節點延時標記有記錄之前的更新，將信息傳遞到子節點中
int mid=root.left+(root.right-root.left)/2;
if(l<=mid) segmentAdd(root.leftchild,l,r,a);
if(r>mid) segmentAdd(root.rightchild,l,r,a);
matain(root); //回頭更新本節點信息
} 針對區間修改的查詢和點修改的查詢的基本思想一樣。只是要注意，節點延時標記信息的傳遞。例如，上例中(1)將[0,2]區間的值加1，緊接着查詢[2,2]區間的區間和。這時就要注意將[0,2]節點中的延時標記傳遞到[2,2]和[0,0]中。
int segmentQuery(Node root,int l,int r)
{
if(l<=root.left&&r>=root.right)
{
return root.sum;
}
pushDown(root);
int mid=root.left+(root.right-root.left)/2;
int sum=0;
if(l<=mid) sum+=segmentQuery(root.leftchild,l,r);
if(r>mid) sum+=segmentQuery(root.rightchild,l,r);
return sum;
}