有關堆棧和Catalan數的思考
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形如這樣的直角三角形網格，從左上角開始，只能向右走和向下走，問總共有多少種走法？
問題的由來：編號爲 1 到 n 的 n 個元素，順序的進入一個棧，則可能的出棧序列有多少種？
對問題的轉化與思考：n 個元素進棧和出棧，總共要經歷 n 次進棧和 n 次出棧。這就相當於對這 2n 步操作進行排列。
一 個模型：一個 n*n 的正方形網格，從左上角頂點到右下角頂點，只能向右走和向下走。問共有多少種走法。如果將向右走對應上述問題的進棧，向下走對應上述問題的出棧，那麼，可以視此模型爲對上述問題的具體描述。而解決此問題，只要在總共從左上角到右下角的2n步中，選定向右走的步數，即共有C(n 2n)中走法。
但是存在一個問題，如果走法越過了對角線，那麼對應到上述問題是出棧數比入棧數多，這是不符合實際的。
對以上模型進行處理，對角線將以上正方形網格分成兩部分，只留下包含對角線在內的下半部分，那麼就不會出現越過對角線的問題。而這問題就是開始提出的問題。
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問題等價於：n個1和n個0組成一2n位的2進制數，要求從左到右掃描，1的累計數不小於0的累計數，試求滿足這條件的數有多少？
解答： 設P2n爲這樣所得的數的個數。在2n位上填入n個1的方案數爲 C（n 2n）
不填1的其餘n位自動填以數0。從C（n 2n）中減去不符合要求的方案數即爲所求。
不合要求的數指的是從左而右掃描，出現0的累計數超過1的累計數的數。
不合要求的數的特徵是從左而右掃描時，必然在某一奇數2m+1位上首先出現m+1個的累計數，和m個1的累計數。
此後的2（n－m）－1位上有n－m個1，n－m－1個0。如若把後面這部分2（n－m）－1位，0與1交換，使之成爲n－m個0，n－m－1個1，結果得 1個由n＋1個0和n－1個1組成的2n位數，即一個不合要求的數對應於一個由n－1個0和n＋1個1組成的一個排列。
反過來，任何一個由n＋1個0，n－1個1組成的2n位數，由於0的個數多2個，2n是偶數，故必在某一個奇數位上出現0的累計數超過1的累計數。同樣在後面的部分，令0 和1互換，使之成爲由n個0和n個1組成的2n位數。即n＋1個0和n－1個1組成的2n位數，必對應於一個不合要求的數。
用上述方法建立了由n＋1個0和n－1個1組成的2n位數，與由n個0和n個1組成的2n位數中從左向右掃描出現0的累計數超過1的累計數的數一一對應。
例如 10100101
是由4個0和4個1組成的8位2進制數。但從左而右掃描在第5位（顯示爲紅色）出現0的累計數3超過1的累計數2，它對應於由3個1，5個0組成的10100010。
反過來 10100010
對應於 10100101
因而不合要求的2n位數與n＋1個0，n－1個1組成的排列一一對應，故有
P2n ＝ C（n 2n）— C（n＋1 2n）
這個結果是一個“卡塔蘭數”Catalan，在組合數學中有介紹，可以參閱有關資料。
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是否可以用一種更合乎思維習慣的方式解決這個問題呢
可以把這個問題描述爲一個二元組，(n, 0) 表示有n個元素等待進棧, 0 個元素已進棧, 這相當於問題最初的狀況. 接着問題轉化爲(n-1,1). 可以這麼說(n,0) = (n-1,1). 而對於(n-1,1)則相當於(n-1,0)+(n-2,2).
(n-1,0)表示棧中的一個元素出棧, (n-2, 2)表示又有一個元素入棧.
把問題一般話,則(n,m)的排列問題可以轉化爲(n,m-1)+(n-1,m+1) 此時m>=1, 因爲必須棧中有元素纔可以出棧.當m=0則(n,0)的問題只能轉化爲(n-1,1). 當問題爲(0, m)時得到遞歸邊界,這個問題的解是隻有一種排列.
程序如下:
#include <stdio.h>
#define ELEMNUM 6;
int getPermuStack(int n, int m)
{
if(n == 0)//遞歸邊界
return 1;
if(m == 0)//(n,0)問題的處理
return getPermuStack(n-1, 1);
return getPermuStack(n, m-1) + getPermuStack(n-1, m+1);
}
int main()
{
printf("The total count of stackout permutation is %d.", getPermuStack(6, 0));
return 0;
}
運行結果:
The total count of stackout permutation is 132.
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上面方法是可行的，但在實際編程中最好不要用遞歸，這樣如果遞歸次數一多就容易造成棧溢出。你可以試下用較大的參數來調用你的函數，會造成runtime error的。
而 且純粹的遞歸會造成大量的重複計算：比如，你在計算getPermuStack(5, 5)的時候計算了getPermuStack(5, 4)，然後在計算getPermuStack(5,3)的時候又計算了一遍。當然可以通過動態規劃的思想設置一個二維數組來記錄計算結果，可是太消耗空間。
如果直觀的方法就能很高效地解決問題的話，就不會有那麼多人去從數學上求解了。
遞歸的致命缺點,也是優點就是把複雜的計算留給機器, 遞歸往往能迅速簡潔的思維求出問題的解, 也許得到的算法是低效的.所以遞歸應該是一種懶人算法. 而"從數學上求解"應當是指從正向考慮問題的解, 遞歸是逆向求解