知識點：降維的四種方法，PCA、LDA、LLE、Laplacian Eigenmaps
注意區分LDA： 信息檢索中也有LDA(Latent Dirichlet allocation)，主題模型,，表示文檔的生成過程：先根據超參選擇主題，在根據主題的分佈採樣得到單詞，重複直至文章寫完。機器學習降維中也有LAD（Linear Discriminant Analysis），常用來和PCA作比較。
轉載：http://dataunion.org/13451.html
作者：xbinworld
引言：
機器學習領域中所謂的降維就是指採用某種映射方法，將原高維空間中的數據點映射到低維度的空間中。降維的本質是學習一個映射函數 f : x->y，其中x是原始數據點的表達，目前最多使用向量表達形式。 y是數據點映射後的低維向量表達，通常y的維度小於x的維度（當然提高維度也是可以的）。f可能是顯式的或隱式的、線性的或非線性的。
目前大部分降維算法處理向量表達的數據，也有一些降維算法處理高階張量表達的數據。之所以使用降維後的數據表示是因爲在原始的高維空間中，包含有冗餘信息以及噪音信息，在實際應用例如圖像識別中造成了誤差，降低了準確率；而通過降維,我們希望減少冗餘信息所造成的誤差,提高識別（或其他應用）的精度。又或者希望通過降維算法來尋找數據內部的本質結構特徵。
在很多算法中，降維算法成爲了數據預處理的一部分，如PCA。事實上，有一些算法如果沒有降維預處理，其實是很難得到很好的效果的。
注：我寫的東西有一些口語化，而且受限於網頁blog的編輯功能，很多地方可能有一些簡單。
主成分分析算法（PCA）
Principal Component Analysis(PCA)是最常用的線性降維方法，它的目標是通過某種線性投影，將高維的數據映射到低維的空間中表示，並期望在所投影的維度上數據的方差最大，以此使用較少的數據維度，同時保留住較多的原數據點的特性。
通俗的理解，如果把所有的點都映射到一起，那麼幾乎所有的信息（如點和點之間的距離關係）都丟失了，而如果映射後方差儘可能的大，那麼數據點則會分散開來，以此來保留更多的信息。可以證明，PCA是丟失原始數據信息最少的一種線性降維方式。（實際上就是最接近原始數據，但是PCA並不試圖去探索數據內在結構）
設n維向量w爲目標子空間的一個座標軸方向（稱爲映射向量），最大化數據映射後的方差，有：
其中m是數據實例的個數， xi是數據實例i的向量表達， x拔是所有數據實例的平均向量。定義W爲包含所有映射向量爲列向量的矩陣，經過線性代數變換，可以得到如下優化目標函數：
其中tr表示矩陣的跡，
A是數據協方差矩陣。
容易得到最優的W是由數據協方差矩陣前k個最大的特徵值對應的特徵向量作爲列向量構成的。這些特徵向量形成一組正交基並且最好地保留了數據中的信息。
PCA的輸出就是Y = W‘X，由X的原始維度降低到了k維。
PCA追求的是在降維之後能夠最大化保持數據的內在信息，並通過衡量在投影方向上的數據方差的大小來衡量該方向的重要性。但是這樣投影以後對數據的區分作用並不大，反而可能使得數據點揉雜在一起無法區分。這也是PCA存在的最大一個問題，這導致使用PCA在很多情況下的分類效果並不好。具體可以看下圖所示，若使用PCA將數據點投影至一維空間上時，PCA會選擇2軸，這使得原本很容易區分的兩簇點被揉雜在一起變得無法區分；而這時若選擇1軸將會得到很好的區分結果。
Discriminant Analysis所追求的目標與PCA不同，不是希望保持數據最多的信息，而是希望數據在降維後能夠很容易地被區分開來。後面會介紹LDA的方法，是另一種常見的線性降維方法。另外一些非線性的降維方法利用數據點的局部性質，也可以做到比較好地區分結果，例如LLE，Laplacian Eigenmap等。以後會介紹。
LDA
Linear Discriminant Analysis (也有叫做Fisher Linear Discriminant)是一種有監督的（supervised）線性降維算法。與PCA保持數據信息不同，LDA是爲了使得降維後的數據點儘可能地容易被區分！
假設原始數據表示爲X，（m*n矩陣，m是維度，n是sample的數量）
既然是線性的，那麼就是希望找到映射向量a， 使得 a‘X後的數據點能夠保持以下兩種性質：
1、同類的數據點儘可能的接近（within class）
2、不同類的數據點儘可能的分開（between class）
所以呢還是上次PCA用的這張圖，如果圖中兩堆點是兩類的話，那麼我們就希望他們能夠投影到軸1去（PCA結果爲軸2），這樣在一維空間中也是很容易區分的。
接下來是推導，因爲這裏寫公式很不方便，我就引用Deng Cai老師的一個ppt中的一小段圖片了：
思路還是非常清楚的，目標函數就是最後一行J（a)，μ（一飄）就是映射後的中心用來評估類間距，s（一瓢）就是映射後的點與中心的距離之和用來評估類內距。J(a)正好就是從上述兩個性質演化出來的。
因此兩類情況下：
加上a’a=1的條件（類似於PCA）
可以拓展成多類：
以上公式推導可以具體參考pattern classification書中的相應章節，講fisher discirminant的
OK，計算映射向量a就是求最大特徵向量，也可以是前幾個最大特徵向量組成矩陣A=[a1,a2,….ak]之後，就可以對新來的點進行降維了：y = A’X（線性的一個好處就是計算方便！）
可以發現，LDA最後也是轉化成爲一個求矩陣特徵向量的問題，和PCA很像，事實上很多其他的算法也是歸結於這一類，一般稱之爲譜（spectral）方法。
線性降維算法我想最重要的就是PCA和LDA了，後面還會介紹一些非線性的方法。
局部線性嵌入（LLE）
Locally linear embedding（LLE）[1] 是一種非線性降維算法，它能夠使降維後的數據較好地保持原有流形結構。LLE可以說是流形學習方法最經典的工作之一。很多後續的流形學習、降維方法都與LLE有密切聯繫。
見圖1，使用LLE將三維數據（b）映射到二維（c）之後，映射後的數據仍能保持原有的數據流形（紅色的點互相接近，藍色的也互相接近），說明LLE有效地保持了數據原有的流行結構。
但是LLE在有些情況下也並不適用，如果數據分佈在整個封閉的球面上，LLE則不能將它映射到二維空間，且不能保持原有的數據流形。那麼我們在處理數據中，首先假設數據不是分佈在閉合的球面或者橢球面上。
圖1 LLE降維算法使用實例
LLE算法認爲每一個數據點都可以由其近鄰點的線性加權組合構造得到。算法的主要步驟分爲三步：(1)尋找每個樣本點的k個近鄰點；（2）由每個樣本點的近鄰點計算出該樣本點的局部重建權值矩陣；（3）由該樣本點的局部重建權值矩陣和其近鄰點計算出該樣本點的輸出值。具體的算法流程如圖2所示：
圖 2 LLE算法步驟
繼續寫一點經典的降維算法，前面介紹了PCA,LDA，LLE，這裏講一講Laplacian Eigenmaps。其實不是說每一個算法都比前面的好，而是每一個算法都是從不同角度去看問題，因此解決問題的思路是不一樣的。這些降維算法的思想都很簡單，卻在有些方面很有效。這些方法事實上是後面一些新的算法的思路來源。
Laplacian Eigenmaps[1] 看問題的角度和LLE有些相似，也是用局部的角度去構建數據之間的關係。
它的直觀思想是希望相互間有關係的點（在圖中相連的點）在降維後的空間中儘可能的靠近。Laplacian Eigenmaps可以反映出數據內在的流形結構。
使用時算法具體步驟爲：
步驟1：構建圖
使用某一種方法來將所有的點構建成一個圖，例如使用KNN算法，將每個點最近的K個點連上邊。K是一個預先設定的值。
步驟2：確定權重
確定點與點之間的權重大小，例如選用熱核函數來確定，如果點i和點j相連，那麼它們關係的權重設定爲：
使用最小的m個非零特徵值對應的特徵向量作爲降維後的結果輸出。
前面提到過，Laplacian Eigenmap具有區分數據點的特性，可以從下面的例子看出：
圖1 Laplacian Eigenmap實驗結果
見圖1所示，左邊的圖表示有兩類數據點（數據是圖片），中間圖表示採用Laplacian Eigenmap降維後每個數據點在二維空間中的位置，右邊的圖表示採用PCA並取前兩個主要方向投影后的結果，可以清楚地看到，在此分類問題上，Laplacian Eigenmap的結果明顯優於PCA。
圖2 roll數據的降維
圖2說明的是，高維數據（圖中3D）也有可能是具有低維的內在屬性的（圖中roll實際上是2D的），但是這個低維不是原來座標表示，例如如果要保持局部關係，藍色和下面黃色是完全不相關的，但是如果只用任何2D或者3D的距離來描述都是不準確的。
下面三個圖是Laplacian Eigenmap在不同參數下的展開結果（降維到2D），可以看到，似乎是要把整個帶子拉平了。於是藍色和黃色差的比較遠。