算法訓練 乘積最大

問題描述

今年是國際數學聯盟確定的“2000——世界數學年”，又恰逢我國著名數學家華羅庚先生誕辰90週年。在華羅庚先生的家鄉江蘇金壇，組織了一場別開生面的數學智力競賽的活動，你的一個好朋友XZ也有幸得以參加。活動中，主持人給所有參加活動的選手出了這樣一道題目：

設有一個長度爲N的數字串，要求選手使用K個乘號將它分成K+1個部分，找出一種分法，使得這K+1個部分的乘積能夠爲最大。

同時，爲了幫助選手能夠正確理解題意，主持人還舉了如下的一個例子：

有一個數字串：312， 當N=3，K=1時會有以下兩種分法：

3 * 12=36
31 * 2=62

這時，符合題目要求的結果是：31*2=62

現在，請你幫助你的好朋友XZ設計一個程序，求得正確的答案。

輸入格式

程序的輸入共有兩行：
　　第一行共有2個自然數N，K（6≤N≤40，1≤K≤6）
　　第二行是一個長度爲N的數字串。

輸出格式

輸出所求得的最大乘積（一個自然數）。

樣例輸入

4 2
1231

樣例輸出

62

時間限制：1.0s 內存限制：256.0MB

解題思路

動態規劃，定義狀態，求解狀態轉移方程。
每次讀入一個字符，轉爲數字之後存入a[i]中
m[i][j] 表示從位置1到位置i這些數字中加上j個乘號的最優值

如輸入樣例，m[i][0]表示的就是從位置1到位置i的純數字的數值。

m[0][0] = 0
m[1][0] = 1
m[2][0] = 12
m[3][0] = 123
m[4][0] = 1231

同時有
m[i][j] = max{m[i-k][j-1] * (m[i][0]-m[i-k][0] * 10^k)}

由此此題可解。

AC代碼

#include <iostream>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
using namespace std;
int a[41];
long long m[41][6];
//求10^n
int fact10(int n)
{
	if(n == 0)
		return 1;
	else if(n == 1)
		return 10;
	else
		return 10*fact10(n-1);
}
int main()
{
	int N,K;
	cin>>N>>K;
	char ch;
	for(int i=1;i<=N;i++){
		cin>>ch;
		a[i] = (int)(ch - '0');
	}
	////求出m[i][0]
	m[0][0] = 0;
	for(int i=1;i<=N;i++){
		m[i][0] = m[i-1][0] * 10 + a[i];
	}
	////m[i][j] = max{m[i-k][j-1] * (m[i][0]-m[i-k][0] * 10^k)}
	for(int i=1;i<=N;i++)
	for(int j=1;j<=K;j++){
		m[i][j] = m[i-1][j-1] * (m[i][0] - m[i-1][0] * 10);
		for(int k=2;k<i;k++)
			if(m[i-k][j-1] * (m[i][0] - m[i-k][0] * fact10(k)) > m[i][j])
				m[i][j] = m[i-k][j-1] * (m[i][0] - m[i-k][0] * fact10(k));
	}
	/*
	for(int i=1;i<=N;i++){
		for(int j = 0;j<=K;j++)
			cout<<m[i][j]<<" ";
		cout<<endl;
	}
	*/
	cout<<m[N][K];
    return 0;
}