曾經有人問過我：“斐波那契數列的生成函數長啥樣？”
。。。所以這東西我還是寫一發吧
它有什麼用？它沒啥用。。。
1.齊次線性遞推數列
定義：給定常數k,a1,a2,...,ak,h0,h1,...,hk−1 ，構造如下數列：
hn={hna1hn−1+a2hn−2+...+akhn−kn<kn≥k
稱作齊次線性遞推數列。
多項式
F(x)=h0+h1x+h2x2+...
被稱作這個數列的一般生成函數。
說到齊次線性遞推數列，最經典的就是斐波那契數列。
定義不用給了吧……
斐波那契數列的生成函數是這個樣子的：
F(x)=1+x+2x2+3x3+5x4+8x5+...
如何用一些有限項的多項式來表示這個級數？
我們構造這樣一個函數：
A(x)=1−x−x2
易驗證：
F(x)A(x)=1
即：
F(x)=11−x−x2
這是爲什麼呢？
原因很簡單，對於∀n≥2 ，
[n](F(x)A(x))=[n]F(x)−[n−1]F(x)−[n−2]F(x)=0
其中[n]F(x) 代表F(x) 的n 次項係數
這個結論有一些很好玩的結果，比如代入x=0.01 ，有：
10.9899=1.010203050813213455...
我們還可以知道，如果把斐波那契數列寫成這樣：
1
11
112
1113
11115
111118
1111113
11111121
…
然後把每一位從上到下加起來，將會出現長度爲89的循環節，因爲10.89 是個有理數……
我們可以把這個推廣到一般形式：
對於遞推式
hn=a1hn−1+a2hn−2+...+akhn−k
的生成函數
F(x)=h0+h1x+h2x2+...
構造函數：
H(x)=h0+h1x+h2x2+...+hk−1xk−1
A(x)=1−a1x−a2x2−...−akxk
則：
F(x)A(x)=H(x)A(x) mod xk
F(x)=H(x)A(x) mod xkA(x)
可以看出這個形式十分的優雅，不過我並不知道這個優雅的形式與數列本質有什麼關聯……
這東西有啥用？
給出一個k 階線性遞推方程，求第n 項，n,k≤105
暴力O(nk) ，矩乘k3logk ，全掛了……
FFT可以O(nlogn) 。
叫我毒瘤。
2.非齊次線性遞推數列
定義：給定常數k,a1,a2,...,ak,h0,h1,...,hk−1 ，構造如下數列：
hn={hna1hn−1+a2hn−2+...+akhn−k+g(n)n<kn≥k
稱作非齊次線性遞推數列。
其中g(n) 是關於n 的函數，可以是常函數
要求用一些有限項多項式來表示級數：
F(x)=h0+h1x+h2x2+...
和之前一樣，構造多項式：
H(x)=h0+h1x+h2x2+...+hk−1xk−1
A(x)=1−a1x−a2x2−...−akxk
G(x)=g(0)+g(1)x+g(2)x2+...
則：
F(x)A(x)=H(x)A(x) mod xk+(G(x)−G(x) mod xk)
F(x)=[H(x)A(x)−G(x)] mod xk+G(x)A(x)
所以如果G(x) 能被有限項多項式表示的話就做完了。。。
若g(n)=1 ，則G(x)=1+x+x2+...=11−x
若g(n)=n ，則G(x)=x+2x2+3x3...=x(1−x)2
若g(n)=n2 ，則G(x)=x+4x2+9x3...=x(x+1)(1−x)3
以此類推，如果g 函數是個多項式的話還是可以表示出來的
3.卡特蘭數列
定義：
hn={1h0hn−1+h1hn−2+...+hn−1h0n=0n≥1
求F(x)=h0+h1x+h2x2+...
容易發現這個遞推式本身就是一個卷積，所以我們直接把這個多項式自乘一下
F2(x)=h1+h2x+h3x2+...=F(x)−1x
解得
F(x)=1−1−4x√2x
即爲卡特蘭數列的生成函數。
4.。。。我並不知道這數列叫啥名字，暫且稱作廣義卡特蘭數列吧。。。
我們都知道卡特蘭數列的第n 項代表n 個元素的入棧出棧序列數，即從原點走到(n,n) 不跨越y=x 的方案數
那麼，定義廣義卡特蘭數列hk(n) 表示n+k 個元素入棧出棧後棧中剩餘k 個元素的入棧出棧序列數，即從原點走到(n+k,n) 不跨越y=x 的方案數
求生成函數：
Fk(x)=hk(0)+hk(1)x+hk(2)x2+...
考慮棧中剩餘的這k 個元素，第i 個元素放進去之後就不動了，然後經歷了一些入棧彈棧，然後塞入第i+1 個元素
換句話說我們可以把第i 個元素看做棧底，然後進行了一堆入棧出棧操作，然後棧空了，然後塞進第i+1 個元素……
如果中間這些走了個過場的元素數量爲s ，那麼方案數是多少？
h0(s) ，即卡特蘭數列第s 項
於是問題就簡單了，我們把n 個元素的序列分成k+1 段，如果一段有s 個元素，方案數是h0(s) ，求方案數
會生成函數的看到這裏已經懂了吧。
構造函數H(x)=h0(0)+h0(1)x+h0(2)x2+...=1−1−4x√2x
則Fk(x)=Hk+1(x)=(1−1−4x√2x)k+1
