卡特蘭數又稱卡塔蘭數，是組合數學中一個常出現在各種計數問題中出現的數列。由以比利時的數學家歐仁·查理·卡塔蘭 (1814–1894)命名。
原理
令h(0)=1,h(1)=1，catalan數滿足遞推式[1]：
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)
例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2
h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5
另類遞推式[2]：
h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
遞推關係的解爲：
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)
遞推關係的另類解爲：
h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=1,2,3,...)
卡特蘭數的應用
總結了一下，最典型的四類應用：（實質上卻都一樣，無非是遞歸等式的應用，就看你能不能分解問題寫出遞歸式了）
1.括號化問題。
矩陣鏈乘： P=a1×a2×a3×……×an，依據乘法結合律，不改變其順序，只用括號表示成對的乘積，試問有幾種括號化的方案？(h(n)種)
2.出棧次序問題。
一個棧(無窮大)的進棧序列爲1,2,3,..n,有多少個不同的出棧序列?
類似：有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？(將持5元者到達視作將5元入棧，持10元者到達視作使棧中某5元出棧)
3.將多邊行劃分爲三角形問題。
將一個凸N+2多邊形區域分成三角形區域的方法數?
類似：一位大城市的律師在她住所以北n個街區和以東n個街區處工作。每天她走2n個街區去上班。如果她
從不穿越（但可以碰到）從家到辦公室的對角線，那麼有多少條可能的道路？
類似：在圓上選擇2n個點,將這些點成對連接起來使得所得到的n條線段不相交的方法數?
4.給頂節點組成二叉樹的問題。
給定N個節點，能構成多少種不同的二叉樹？
（能構成h（N）個）
Catalan數的解法
Catalan數的組合公式爲 Cn=C(2n,n) / (n+1);
此數的遞歸公式爲 h(n ) = h(n-1)*(4*n-2) / (n+1)
卡特蘭數真是一個神奇的數字，很多組合問題的數量都和它有關係，例如：
Cn= n對括號正確匹配組成的字符串數，例如 3對括號能夠組成：
((())) ()(()) ()()() (())() (()())
Cn= n+1個數相乘，所有的括號方案數。例如， 4個數相乘的括號方案爲：
((ab)c)d (a(bc))d (ab)(cd) a((bc)d) a(b(cd))
Cn= 擁有 n+1 個葉子節點的二叉樹的數量。例如 4個葉子節點的所有二叉樹形態：
- Cn=n*n的方格地圖中，從一個角到另外一個角，不跨越對角線的路徑數，例如， 4×4方格地圖中的路徑有：
- Cn= n+2條邊的多邊形，能被分割成三角形的方案數，例如 6邊型的分割方案有：
- Cn= 圓桌周圍有 2n個人，他們兩兩握手，但沒有交叉的方案數。
下面是一些大公司的筆試題
先來一道阿里巴巴的筆試題目：說16個人按順序去買燒餅，其中8個人每人身上只有一張5塊錢，另外8個人每人身上只有一張10塊錢。燒餅5塊一個，開始時燒餅店老闆身上沒有錢。16個顧客互相不通氣，每人只買一個。問這16個人共有多少種排列方法能避免找不開錢的情況出現。
C8=1430，所以總數=1430*8！*8！
2012騰訊實習招聘筆試題
在圖書館一共6個人在排隊，3個還《面試寶典》一書，3個在借《面試寶典》一書，圖書館此時沒有了面試寶典了，求他們排隊的總數？
C3=5；所以總數爲5*3！*3！=180.