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標準差，在概率統計中最常使用做爲統計分佈程度（statistical dispersion）上的測量。標準差定義爲方差的算術平方根，反映組內個體間的離散程度。測量到分佈程度的結果，原則上具有兩種性質：
- 爲非負數值，
- 與測量資料具有相同單位。
一個總量的標準差或一個隨機變量的標準差，及一個子集合樣品數的標準差之間，有所差別。其公式如下所列。
標準差的觀念是由卡爾·皮爾遜 ( Karl Pearson ) 引入到統計中。
目錄
[隱藏][編輯] 闡述及應用
簡單來說，標準差是一組數值自平均值分散開來的程度的一種測量觀念。一個較大的標準差，代表大部分的數值和其平均值之間差異較大；一個較小的標準差，代表這些數值較接近平均值。
例如，兩組數的集合 {0, 5, 9, 14} 和 {5, 6, 8, 9} 其平均值都是 7 ，但第二個集合具有較小的標準差。
標準差可以當作不確定性的一種測量。例如在物理科學中，做重複性測量時，測量數值集合的標準差代表這些測量的精確度。當要決定測量值是否符合預測值，測量值的標準差佔有決定性重要角色：如果測量平均值與預測值相差太遠（同時與標準差數值做比較），則認爲測量值與預測值互相矛盾。這很容易理解，因爲如果測量值都落在一定數值範圍之外，可以合理推論預測值是否正確。
標準差應用於投資上，可作爲量度回報穩定性的指標。標準差數值越大，代表回報遠離過去平均數值，回報較不穩定故風險越高。相反，標準差數值越細，代表回報較爲穩定，風險亦較小。
[編輯] 標準差的定義及簡易計算公式
[編輯] 標準計算公式
假設有一組數值
（皆爲實數），其平均值爲：
![/overline{x}=/frac{1}{N}/sum_{i=1}^N x_i]()
.
. 此組數值的標準差爲：
![/sigma = /sqrt{/frac{1}{N} /sum_{i=1}^N (x_i - /overline{x})^2}]()
.
. [編輯] 簡化計算公式
上述公式可以變換爲一個較簡單的公式：
上述代數變換的過程如下：
[編輯] 隨機變量的標準差計算公式
一隨機變量 X 的標準差定義爲：
![/sigma = /sqrt{/operatorname{E}((X-/operatorname{E}(X))^2)} = /sqrt{/operatorname{E}(X^2) - (/operatorname{E}(X))^2}]()
.
. 須注意並非所有隨機變量都具有標準差，因爲有些隨機變量不存在期望值。 如果隨機變量 X 爲 
具有相同機率，則可用上述公式計算標準差。
[編輯] 樣本標準差
在真實世界中，除非在某些特殊情況下，找到一個總體的真實的標準差是不現實的。大多數情況下，總體標準差是通過隨機抽取一定量的樣本並計算樣本標準差估計的。
從一大組數值
當中取出一樣本數值組合 
，常定義其樣本標準差：
樣本方差 s2 是對總體方差σ2的無偏估計。 s 中分母爲 n - 1 是因爲 
的自由度爲 n − 1 ，這是由於存在約束條件 
。
[編輯] 連續隨機變量的標準差計算公式
概率密度爲 p(x) 的連續隨機變量 x 的標準差是：
其中
[編輯] 標準差的性質
對於常數 c 和隨機變量 X 和 Y：
- σ(X + c) = σ(X)
![/sigma(cX)=c/cdot/sigma(X)]()
![/sigma(X+Y) = /sqrt{ /sigma^2(X) + /sigma^2(Y) + 2/cdot/mbox{cov} (X,Y)}]()
- 其中： cov(X,Y) 表示隨機變量 X 和 Y 的協方差。
[編輯] 範例
這裏示範如何計算一組數的標準差。例如一羣孩童年齡的數值爲 { 5, 6, 8, 9 } ：
第一步，計算平均值 
![/overline{x}=/frac{1}{N}/sum_{i=1}^N x_i]()
.
n = 4 （因爲集合裏有 4 個數），分別設爲：
![/overline{x}=/frac{1}{4}/sum_{i=1}^4 x_i]()
用 4 取代 N
用 4 取代 N
![/overline{x}= 7]()
此爲平均值。
此爲平均值。 第二步，計算標準差 
![/sigma = /sqrt{/frac{1}{4} /sum_{i=1}^4 (x_i - /overline{x})^2}]()
用 4 取代 N
用 4 取代 N![/sigma = /sqrt{/frac{1}{4} /sum_{i=1}^4 (x_i - 7)^2}]()
用 7 取代 ![/overline{x}]()
用 7 取代 ![/sigma = /sqrt{/frac{1}{4} /left [ (x_1 - 7)^2 + (x_2 - 7)^2 + (x_3 - 7)^2 + (x_4 - 7)^2 /right ] }](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/http://upload.wikimedia.org/math/1/b/3/1b3ee6d89f69664070242d56103f30b0.png)
![/sigma = /sqrt{/frac{1}{4} /left [ (5 - 7)^2 + (6 - 7)^2 + (8 - 7)^2 + (9 - 7)^2 /right ] }](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/http://upload.wikimedia.org/math/6/2/c/62c241b9f368cfa8d1d37b0a53950a55.png)
![/sigma = 1.5811/,/!]()
此爲標準差。
此爲標準差。 [編輯] 常態分佈的規則
深藍區域是距平均值小於一個標準差之內的數值範圍。在常態分佈中，此範圍所佔比率爲全部數值之 68% 。 根據常態分佈，兩個標準差之內（深藍，藍）的比率合起來爲 95% 。根據常態分佈，三個標準差之內（深藍，藍，淺藍）的比率合起來爲 99% 。
在實際應用上，常考慮一組數據具有近似於常態分佈的機率分佈。若其假設正確，則約 68% 數值分佈在距離平均值有 1 個標準差之內的範圍，約 95% 數值分佈在距離平均值有 2 個標準差之內的範圍，以及約 99.7% 數值分佈在距離平均值有 3 個標準差之內的範圍。稱爲 "68-95-99.7 rule"。
[編輯] 標準差與平均值之間的關係
一組數據的平均值及標準差常常同時做爲參考的依據。在直覺上，如果數值的中心以平均值來考量，則標準差爲統計分佈之一"自然"的測量。較確切的敘述爲：假設 爲實數，定義其公式
使用微積分，不難算出 σ(r) 在下面情況下具有唯一最小值：
[編輯] 幾何學解釋
從幾何學的角度出發，標準差可以理解爲一個從 n 維空間的一個點到一條直線的距離的函數。舉一個簡單的例子，一組數據中有3個值，X1,X2,X3。它們可以在3維空間中確定一個點 P = (X1,X2,X3)。想像一條通過原點的直線 
。如果這組數據中的3個值都相等，則點 P 就是直線 L 上的一個點，P 到 L 的距離爲0, 所以標準差也爲0。若這3個值不都相等，過點 P 作垂線 PR 垂直於 L，PR 交 L 於點 R，則 R 的座標爲這3個值的平均數：
運用一些代數知識，不難發現點 P 與點 R 之間的距離(也就是點 P 到直線 L 的距離)是
。在 n 維空間中，這個規律同樣適用，把3換成 n 就可以了。
[編輯] 外部鏈接
- Standard Deviation Calculator 標準差計算器（英文）