CRC校驗原理

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1、循環校驗碼（CRC碼）：是數據通信領域中最常用的一種差錯校驗碼，其特徵是信息字段和校驗字段的長度可以任意選定。

2、生成CRC碼的基本原理：任意一個由二進制位串組成的代碼都可以和一個係數僅爲‘0’和‘1’取值的多項式一一對應。例如：代碼1010111對應的多項式爲x⁶+x⁴+x²+x+1，而多項式爲x⁵+x³+x²+x+1對應的代碼101111。

3、CRC碼集選擇的原則：若設碼字長度爲N，信息字段爲K位，校驗字段爲R位(N=K+R)，則對於CRC碼集中的任一碼字，存在且僅存在一個R次多項式g(x)，使得

V(x)=A(x)g(x)=x^Rm(x)+r(x);

其中:    m(x)爲K次信息多項式， r(x)爲R-1次校驗多項式，

         g(x)稱爲生成多項式：

g(x)=g₀+g₁x+ g₂x²+...+g_(R-1)x^(R-1)+g_Rx^R

發送方通過指定的g(x)產生CRC碼字，接收方則通過該g(x)來驗證收到的CRC碼字。

4、CRC校驗碼軟件生成方法：

    藉助於多項式除法，其餘數爲校驗字段。

例如：信息字段代碼爲: 1011001；對應m(x)=x⁶+x⁴+x³+1 

      假設生成多項式爲：g(x)=x⁴+x³+1；則對應g(x)的代碼爲: 11001

      x⁴m(x)=x¹⁰+x⁸+x⁷+x⁴ 對應的代碼記爲：10110010000；

採用多項式除法:  得餘數爲: 1010     (即校驗字段爲：1010）

發送方：發出的傳輸字段爲:  1 0 1 1 0 0 1 1 0 10

                          信息字段       校驗字段

接收方：使用相同的生成碼進行校驗:接收到的字段/生成碼（二進制除法）如果能夠除盡，則正確，

 

CRC（Cyclic Redundancy Check)循環冗餘校驗碼

　　是常用的校驗碼，在早期的通信中運用廣泛，因爲早期的通信技術不夠可靠（不可靠性的來源是通信技術決定的，比如電磁波通信時受雷電等因素的影響），不可靠的通信就會帶來‘確認信息’的困惑，書上提到紅軍和藍軍通信聯合進攻山下的敵軍的例子，第一天紅軍發了條信息要藍軍第二天一起進攻，藍軍收到之後，發一條確認信息，但是藍軍擔心的是‘確認信息’如果也不可靠而沒有成功到達紅軍那裏，那自己不是很危險？於是紅軍再發一條‘對確認的確認信息’，但同樣的問題還是不能解決，紅軍仍然不敢貿然行動。
　　對通信的可靠性檢查就需要‘校驗’，校驗是從數據本身進行檢查，它依靠某種數學上約定的形式進行檢查，校驗的結果是可靠或不可靠，如果可靠就對數據進行處理，如果不可靠，就丟棄重發或者進行修復。
　　CRC碼是由兩部分組成，前部分是信息碼，就是需要校驗的信息，後部分是校驗碼，如果CRC碼共長n個bit，信息碼長k個bit，就稱爲(n,k)碼。它的編碼規則是：
　　1、首先將原信息碼(kbit)左移r位(k+r=n)
　　2、運用一個生成多項式g(x)（也可看成二進制數）用模2除上面的式子，得到的餘數就是校驗碼。
　　非常簡單，要說明的：模2除就是在除的過程中用模2加，模2加實際上就是我們熟悉的異或運算，就是加法不考慮進位，公式是：
　　0+0=1+1=0,1+0=0+1=1
　　即‘異’則真，‘非異’則假。
　　由此得到定理：a+b+b=a 也就是‘模2減’和‘模2加’真值表完全相同。
　　有了加減法就可以用來定義模2除法，於是就可以用生成多項式g(x)生成CRC校驗碼。
　　例如： g(x)=x4+x3+x2+1,(7,3)碼,信息碼110產生的CRC碼就是：
　　對於g(x)=x4+x3+x2+1的解釋：（都是從右往左數）x4就是第五位是1，因爲沒有x1所以第2位就是0。
　　11101 | 110,0000（設a=11101 ，b=1100000）
　　取b的前5位11000跟a異或得到101
　　101加上b沒有取到的00得到10100
　　然後跟a異或得到01001
　　也就是餘數1001

                  101
     11101 | 110,0000
             111 01
               1 0100
               1 1101
                 1001

　　餘數是1001，所以CRC碼是110,1001

　　標準的CRC碼是，CRC-CCITT和CRC-16，它們的生成多項式是：
　　CRC-CCITT=x^16+x^12+x^5+1
　　CRC-16=x^16+x^15+x^2+1

 

 

先舉個例子：

 

已知信息位爲1100，生成多項式G(x) = x3+x+1，求CRC碼。
M(x) = 1100 M(x)*x3 = 1100000

G(x) = 1011
M(x)*x3 / G(x) = 1110 + 010 /1011

R(x) = 010
CRC碼爲： M(x)*x 3+R(x)=1100000+010 =1100010

其原理是：CRC碼一般在k位信息位之後拼接r位校驗位生成。編碼步驟如下：
（1）將待編碼的k位信息表示成多項式 M(x)。
（2）將 M(x)左移 r 位，得到 M(x)*xr 。
（3）用r+1位的生成多項式G(x)去除M(x)*xr 得到餘數R(x)。
（4）將M(x)*xr 與R(x)作模2加，得到CRC碼。

 

 

“模2除”的演示圖片：

“模2除”中間過程的減法爲“模2減”，即異或運算。