集合等離散數據結構

集合

簡單說一下集合的概念，集合包含一組可區分的對象，稱爲成員或元素。如果一個對象x是對象S的一個成員，記爲$x\in{S}$。如果x不是S的成員，則記爲$x\notin{S}$。通過在一對大括號中顯式列出集合的所有成員的方式描述一個集合，例如通過$S = \{1,2,3\}$定義一個包含成員1，2，3的集合。如果兩個集合A和B包含相同的成員，則稱A,B相等（忽略順序和重複元素）。
常用集合有幾種

• $\empty$表示空集
• $\Z$表示整數集
• $\R$表示實數集
• $\N$表示自然數集

如果集合A的所有元素都在集合B中，即如果$x\in{A}$就有$x\in{B}$，則可以記爲$A\subseteq{B}$，集合A是集合B的一個子集。當且僅當$A\subseteq{B}$且$B\subseteq{A}$時，有A=B。對於任意三個集合A,B,C，如果$A\subseteq{B}$且$B\subseteq{C}$，則$A\subseteq{C}$。對於任意集合A，有$\empty\subseteq{A}$。

集合操作服從下列定律：
空集律
$A\bigcap{\empty} = \empty \\ A\bigcup{\empty} = A$
冪等律
$A\bigcap{A} = A \\ A\bigcup{A} = A$
交換律
$A\bigcap{B} = B\bigcap{A} \\ A\bigcup{B} = B\bigcup{A}$
結合律
$A\bigcap({B}\bigcap{C}) = (A\bigcap{B})\bigcap{C} \\ A\bigcup({B}\bigcup{C}) = (A\bigcup{B})\bigcup{C}$
分配律
$A\bigcap({B}\bigcup{C}) = (A\bigcap{B})\bigcup(A\bigcap{C}) \\ A\bigcup({B}\bigcap{C}) = (A\bigcup{B})\bigcap(A\bigcup{C})$
吸收律
$A\bigcap({A}\bigcup{B}) = A \\ A\bigcup({A}\bigcap{B}) = A$
德·摩根律
$A-({B}\bigcap{C}) = (A-B)\bigcup(A-C) \\ A-({B}\bigcup{C}) = (A-B)\bigcap(A-C)$

通常，所有被考慮的集合都是一個全域U的子集，例如，當考慮各種僅有整數組成的集合時，集合Z就是個合適的全域。給定一個全集U，可以定義A的補集爲$\bar{A} = U - A$，對於任何集合$A\subseteq{U}$，有以下定律：
$\bar{\bar{A}} = A \\ A\bigcap{\bar{A}} = \empty \\ A\bigcup{\bar{A}} = U$
德·摩根律可以補集形式表示。對任意兩個集合$B,C\subseteq{U}$，有
$\overline{B\bigcap{C}} = \bar{B}\bigcup{\bar{C}} \\ \overline{B\bigcup{C}} = \bar{B}\bigcap{\bar{C}}$
如果集合A和B沒有公共的元素，即$A\bigcap{B} = \empty$，則稱兩者不相交。如果一個非空集合$\delta = \{S_i\}$滿足條件

• 集合兩兩不相交，即對$S_i，S_j\in{\delta}$，如果$i \neq{j}$，則$S_i\bigcap{S_j} = \empty$
• 他們的並集是S，即
  $S = \bigcup\limits_{S_i\in\delta}S_i$
  則稱集合$\delta$是集合S的一個劃分。換句話說，如果S中的每個元素僅出現在一個$S_i\in{\delta}$，則稱$\delta$爲集合S的一個劃分。
         集合中元素的個數稱爲j集合的勢，記爲$\left|S\right|$。如果兩個集合的元素可以形成一一對應，則稱兩個集合有相同的勢。空集的勢爲0。如果一個集合的勢是自然數，則稱集合是有限的，反之，他是無限的。如果一個無限集合可以跟自然數集合N形成一一對應，則稱其爲可數無限；反之，則稱其爲不可數。整數集Z是可數的，而實數集R是不可數的。
  一個具有n個元素的有限集合常被稱爲n維集。一個一維集也成爲單元集。一個集合的k個元素的子集稱爲k子集。
  集合S的所有子集的集合，包括空集和S本身表示爲$2^S$，稱爲S的冪集。例如$2^{\{a,b\}} = \{\empty,\{a\},\{b\},\{a,b\} \}$。有限集S的冪集的勢是$2^{\left|S\right|}$。
  可以使用組合證明，先找有0個元素的子集，再找有1個元素的子集……最後找有n個元素的子集，他們的個數分別是$\sum\limits_{k=0}^{n}{ n \choose k}$,恰好是$2^n$。