中外數學教學名著與數學思想
(2011-08-01 13:30:56)中外數學教學名著
一、數學縱橫
1.1華羅庚，華羅庚科普著作選集，滬教，84[必讀]
1.2張奠宙，數學的明天，桂教，99
[縱論數學與數學教育，書中的一些觀點高屋建瓴，發人深省。系“走向科學的明天叢書”之一，數學方面另有：平面幾何定理的機器證明，集合與面積，組合數學方興未艾，精益求精的最優化，大千世界的隨機現象]
３５２注：張奠宙的 20世紀數學經緯經緯（張奠宙） 也很好
1.3石鍾慈，第三種科學方法——計算機時代的科學計算，暨南、清華，00
[本書乃“院士科普書系”之一，另有：計算機怎樣解幾何題——談談自動推理，機會的數學]
1.4徐利治，數學方法論選講，華中工學院，88年2版
1.5 M·克來因，古今數學思想，滬科技，79
[由北大數學系組織翻譯]
數學叢書.-.[古今數學思想1].pdf 數學叢書.-.[古今數學思想2].pdf
數學叢書.-.[古今數學思想3].part2.rar 數學叢書.-.[古今數學思想3].part1.rar
數學叢書.-.[古今數學思想3].part3.rar 數學叢書.-.[古今數學思想4].pdf
1.6 胡·施坦豪斯，數學萬花鏡，湘教，99
[本書51年，80年，81年均有譯本，作者另有：一百個數學問題，又一百個數學問題（滬教，80），三冊書在國際上較有影響]
1.7樑之舜 吳偉賢，數學古今縱橫談，科學普及社廣州分社，82
1.8盛立人，生活中的數學——管理必讀，中科大，99
[書分12章，有實用價值，有深厚背景，有現代意識，書中內容將會日益受到關注]
1.9王梓坤，科學發現縱橫談，滬人，80[有多個版本，院士妙筆，必讀]
1.10顧邁南，華羅庚傳，冀人，85
1.11康斯坦西·瑞德，希爾伯特，滬科技，82[近有新版]
1.12儲嘉康，現代數學的巨星——希爾伯特的故事，川少兒，83
1.13袁向東 李文林，三個女數學家，川少兒，81
1.14周培源 蘇步青等，在茫茫的學海中——談科學的學習方法，遼人，84
[系36位各學科名家所寫治學經驗，徐利治教授的文章最有味道]
1.15徐勝藍 孟東明，楊振寧傳，復旦，97
[兩岸三地已出了五種版本，本書是第五版，我們能從這本不平凡的傳記中獲得啓示和力量]
二、波利亞理論與解題研究
2.1 G·波利亞，怎樣解題，科學，82
2.2 G·波利亞，數學的發現（二卷），蒙人，80
2.3 G·波利亞，數學與猜想（二卷），科學，84
2.4 劉雲章 趙雄輝，數學解題思維策略——波利亞著作選講，湘教，92年初版，99年2版
[本書從我國實情出發精選了波利亞的三大名著的內容及有關論文，其中也不乏作者自已的觀點和態度，便於讀者儘快瞭解波利亞數學教育理論的梗慨。必讀]
2.5 楊世民 王雪琴，數學發現的藝術，青島海洋大學，98
[本書有51萬字，乃國人研究波利亞理論之傑作，必讀]
2.6羅增儒，數學解題學引論，陝師大，97
[作者系碩士導師，在大學裏開設同名課程，寫有書、文約200萬字。本書有50萬字，必讀]
2.7張國棟，數學解題過程與解題教學，京教，96
[系“北京教育叢書”之一，必讀]
2.8過伯祥，怎樣學好數學，蘇教，95
2.9趙振威，數學發現導論，皖教，00
[本書有44萬字。另有：中學數學解題研究，蘇教，98，本書有32萬字]
2.10戴再平，數學習題理論，滬教，96年2版
[另主編了關於數學開放題的多本書]
2.11歐陽維誠，初等數學典型方法研究，湘教，85年初版，98年2版
2.12胡炳生，數學解題思路與方法，皖科技，00
[以上兩冊從數學競賽角度來談解題方法研究，作者們數學功底深厚，極得一讀]
2.13沈文選，中學數學解題典型方法例談，湘師大，96
2.14羅增儒，怎樣解答高考數學題，陝師大，95年第2版
2.15唐盛昌等，高中數學解題策略，滬教，97
[本書既有較高的立意，又能切合教學實際，可資參考]
三、數學教育與數學教學
3.1開創21世紀數學教育新局面——全國中學數學教育第九屆年會論文特輯，滬科技，00
[有顧泠沅、馬明等的妙文，本書有49萬字]
3.2鍾善基主編，中國著名特級教師教學思想錄·中學數學卷，蘇教，96
[收入了馬明等14位特級教師教學經驗介紹，本書有67萬字，必讀]
3.3孫維剛，孫維剛談全班55%怎樣考上北大考上清華，北方婦女兒童，99年初版，01年2版[必讀]
3.4陳振宣，培養數學思維能力的探索，滬教，98
[名師多年經驗，不可不讀。本書系“上海教育叢書”之一，有37萬字]
3.5楊之 汪傑良，返璞歸真 滋蘭樹蕙——特級教師曾容數學教學探幽，華東理工大學，00
3.6楊象富，楊象富數學教學經驗，浙教，91
[系“浙江省中小學特級教師教學經驗選輯”之一，必讀]
3.7胡炯濤 張芃，胡炯濤中學數學教學縱橫談，魯教，97
[系“全國著名特級教師教學藝術與研究叢書”之一，另有：任勇中學數學教學藝術與研究]
3.8戴麗萍，中學數學思想方法的教學，滬教，99
[本書系“上海教育叢書”之一]
3.9蔣聲，走向數學發現，大象社，99
[系《中學數學思維方法叢書》之一，王梓坤院士主編並作序，另有：原則與策略，猜想與合情推理，直覺探索方法，邏輯探索方法，整體方法，邏輯與演繹，綜合與構造，轉化與化歸，抽象與模式，反思與監控，計算機與思維，觀念與文化，共計13冊，貼近中學實際，有較大參考價值]
3.10羅增儒，數學的領悟，豫科技，97
[系《讓你開竅的數學》叢書
之一，王梓坤院士主編並作序，另有：解析幾何方法漫談，數學解題中的物理方法，數學解題中的動態思維，極端原理與解題，有趣的圖形覆蓋，趣味題與簡捷解，從畢達哥拉斯到費爾馬，貼近中學實際，有參考價值]
3.11張奠宙 過伯祥，數學方法論稿，滬教，96
3.12郭思樂 喻偉，數學思維教育論，滬教，97
3.13任樟輝，數學思維論，桂教，96
[繫馬忠林主編的“學科現代教育理論書系·數學·”之一，另有：數學課程論，數學學習論，數學方法論，數學教學論，數學教育評價]
3.14李明振主編，數學方法與解題研究，滬科教，00
[主編係數學教育專業碩士，編寫了一半內容，本書有46萬字]
3.15張奠宙主編，數學素質教育教案精編（點評本），中國青年，00
3.16張奠宙等，中學數學問題集，華東師大，97
[本書不是一般的習題集，每個學生都可從中找到自己感興趣的問題，爲數學活動課提供了良好的材料]
3.17葉其孝主編，中學數學建模，湘教，98
3.18王尚志主編，高中數學知識應用問題，湘教，99
3.19張思明，中學數學建模教學的實踐與探索，京教，98
[系“北京教育叢書”之一]
3.20王守愚主編，思維與創造——北京第十五中學數學知識應用競賽學生獲獎論文選，氣象社，00
[收集論文30篇。北京市數學會理事長王尚志教授撰文獎掖]
四、趣味數學
4.1阿爾伯特·H·貝勒，數論妙趣——數學女王的盛情款待，滬教，98
[序文稱，數論趣題像催化劑，學生接觸後可以激發學習數學的興趣，效果極好，譯者系談祥柏，本書乃“通俗數學名著譯叢”之一，另有：近代歐氏幾何學，數學與聯想，數學娛樂問題，數學趣聞集錦（上、下），數學：新的黃金時代，當代數學：爲了人類心智的榮耀，無窮之旅——關於無窮大的文化史,
計算出人意料，站在巨人的肩膀上，數學：科學的語言，數學遊戲與欣賞]
4.2馬丁·加德納，啊哈！靈機一動，滬科技文獻，81
4.3《科學美國人》編輯部，從驚訝到思考，科技文獻，82
4.4馬丁·加德納選編，薩姆勞埃德的數學趣題，滬科技教育，99
[系“加德納趣味數學系列”之一，另有：薩姆勞埃德的數學趣題續篇，引人入勝的數學趣題，測試你的邏輯推理能力，邏輯推理新趣題，數學的奇妙]
4.5別萊利曼，趣味幾何學，中國青年，80
[作者系前蘇聯著名數學普及讀物作家，另有趣味代數學等]
4.6亨利·E·杜登尼，200個趣味數學故事，湘科技，84
4.7談祥柏，趣味對策論，中國青年，1982
4.8談祥柏，數學百草園，浙科技，83
4.9談祥柏，數學廣角鏡，蘇教，92年2版
4.10談祥柏等，趣味數學辭典，滬辭書社，94[必讀]
4.11談祥柏，談祥柏科普文集，滬科學普及，96
4.12談祥柏，數：上帝的寵物，滬教，96
4.13唐世興，數學遊戲新編，滬教，79年初版，97年再版。
[書中稱主要面向小學生，但實踐證明初、高中學生皆有興趣]
五、知識性讀物
5.1華羅庚，從楊輝三角談起，人教，64年新一版
[系“數學小叢書”之一，另有：對稱，從祖沖之的圓周率談起，力學在幾何學中的一些應用，平均，格點與面積，一筆畫和郵遞路線問題，從劉徽割圓談起，幾種類型的極值問題，從孫子的“神奇妙算”談起，等周問題，多面形的歐拉定理和閉曲面的拓撲分類，複數與幾何，單位分數。皆爲妙手偶得，不看豈不可惜]
5.2柯召 孫琦，初等數論100例，滬教，78
5.3柯召 孫琦，談談不定方程，滬教，78
5.4王元，談談素數，滬教，78
5.5常庚哲，抽屜原則及其他，滬教，78
5.6常庚哲，複數計算與幾何證題，滬教，80
5.7常庚哲 蘇淳，奇數和偶數，滬教，86
5.8單墫，幾何不等式，滬教，80
5.9單墫，趣味的圖論問題，滬教，80
5.10單墫，覆蓋，滬教，83
5.11嚴鎮軍，從正五邊形談起，滬教，80
5.12嚴鎮軍，反射與反演，滬教，81
5.13馮克勤，射影幾何趣談，滬教，87
5.14管梅谷，圖論中的幾個極值問題，滬教，81
5.15吳利生 莊亞棟， 凸圖形，滬教，82
5.16蔣聲，從單位根談起，滬教，80
5.17南山，柯西不等式與排序不等式，滬教，96
5.18俞文魚此 陳守吉，人造衛星軌道的分析和計算，滬教，82
5.19南秀全 餘石，奇數、偶數、完全平方數，滬教，98
[選讀以上諸書，則數學功底自然日漸見長]
5.20黃國勳 李炯生，運動場上的數學，滬教，99年2版
[很合學生口味，系“中學生文庫精選續編·數學趣談輯”之八，另有：數學探奇，矩陣對策初步，生物數學趣談，形形色色的曲線，世界數學名題選，SOS—編碼縱橫談，棋盤上的數學]
5.21施鹹亮，不等式，浙人，79
[系“數學進修用書”之一，至今仍有較大參考價值]
5.22陳培德，天平的數學與數學天平，遼教，98
[系“數學傳播叢書”之一，由中國數學會數學傳播委員會審定，討論找假幣問題，由淺入深，直至研究前沿，非常吸引人]
5.23柯召 魏萬迪，初等組合學漫話，科學，84
[論述了30多個問題，有點專門，適合教師閱讀]
5.24王志雄，數學美食城，民主與建設社，2000
[作者數學功底深厚，行筆流暢優雅，洋洋灑灑52萬字，可讀可研，實乃空前之佳作]
5.25 H·德里，100個著名初等數學問題，滬科技，82[名著]
5.26王長烈 朱煜民，世界數學名題趣題選，湘教，88年初版，98年再版
[適合學生課外閱讀]
5.27傅鍾鵬，極值巧解，遼人，80
[作者系高級工程師，有多本數學科普讀物出版]
5.28馬明，節約的數學，中國少年兒童，80
5.29馬希文，數學花園漫遊記，中國少年兒童，80
5.30 O·奧爾，有趣的數論，北大，85
[系“美國新數學叢書”之一，由北大數學系組織翻譯，另有：拓撲學的首要概念，從畢達哥拉斯到愛因斯坦，科學中的數學方法，數學中的智巧，連分數，無限的用處，不等式入門，幾何不等式，幾何學的新探索，幾何變換（共4冊），選擇的數學，早期數學史選篇]
5.31 D·A·約翰遜 W·H·格倫 ，大家學數學，科學，80
[英國《自修數學》小叢書之一，另有：測量世界，數型，畢達哥拉斯定理，統計世界，集合、命題與運算，數學邏輯與推理，曲線，拓撲學——橡皮膜上的幾何學，概率與機率，向量基本概念，有限數學系統，無限數，矩陣，共14本]
5.32 Brian Bolt著，老謀深算，浙科技，99
[本書強調趣味性與研究性，重在培養學生的能力，業經實踐，是課外活動的好材料，本書系“數學樂園”叢書之一，另有：趣味盎然，舉一反三，茅塞頓開，觸類旁通]
5.33王俊邦 羅振聲，趣味離散數學，北大，98
[有53個問題，內容適宜向學生介紹]
5.34 李毓佩，數學天地，蘇少年兒童，99
[作者寫有多本優秀數學普及讀物，本書系“趣味自然科學百科”叢書之一，面向中小學生，內容豐富，可讀性強，有50萬字，便於教師選用]
六、數學競賽
6.1葉軍，數學奧林匹克教程，湘師大，98
[書中許多問題是作者的研究成果，由此入徑，必登堂奧。三次共印2萬餘冊。本書有76萬字。知識性的難題常可從本書中查到]
6.2單墫 熊斌總主編，奧數教程（高中三冊），華東師大，00
[三冊共計95萬字，少量題目系高考難度，也可爲教學所借鑑]
6.3黃宣國，數學奧林匹克大集·1994，滬教，97
[欲攻數學奧林匹克難題者，可看本書，本書有79萬字]
6.4羅增儒，數學競賽導論，陝師大，00
[其中有關國內數學競賽的史料爲它書所不備]
6.5常庚哲，初中數學競賽妙題巧解，滬科技,87
6.6蘇淳，從特殊性看問題，中科大，01
[系科大教授們寫的“數學奧林匹克輔導叢書”之一，另有：組合恆等式，解析幾何的技巧，算兩次，構造法解題，漫談數學歸納法]
6.7裘宗滬主編，歷屆全國高中數學聯賽試題詳解，開明社，99年修訂版
6.8希望杯全國數學邀請賽試題、培訓題及解答，氣象社
[該賽1994年至今已有十二屆，書分高中、初中，有多冊]
6.9劉裔宏等譯，普特南數學競賽（1938~1980），湘科技，83
[雖系大學生數學競賽，但其中一些內容已滲透到中學數學競賽中]
6.10中國科協青少年部，角逐學科奧林匹克，中國少年兒童，98
[係獲獎學生和教練寫的體會文章]
七、初等數學研究
7.1初等數學論叢（共9冊），滬教，80~86
7.2初等數學研究文集，滬教，92
7.3楊世明主編，中國初等數學研究文集（1980~1991），豫教，92
7.4楊之，初等數學研究的問題與課題，湘教，93
[楊之乃楊世明老師之筆名]
7.5單墫主編，幾何不等式在中國，蘇教，96
7.6陳計 葉中豪主編，初等數學前沿，蘇教，96
7.7楊學枝主編，不等式研究，藏人，00
[以幾何不等式爲主，本書有50萬字]
7.8單墫，組合幾何，滬教，96
7.9馮躍峯，棋盤上的組合數學，滬教，98
[書中的大部分內容是作者在數學研究中的最新成果，有興趣者可從中找到適合自己的課題，從而進入研究領域]
數學思想
數學思想是指人們對數學理論和內容的本質的認識，數學方法是數學思想的具體化形式，實際上兩者的本質是相同的，差別只是站在不同的角度看問題。通常混稱爲“數學思想方法”。
數學四大思想：函數與方程、轉化與化歸、分類討論、數形結合；
函數與方程
函數思想，是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數量關係入手，運用數學語言將問題中的條件轉化爲數學模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然後通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時，還實現函數與方程的互相轉化、接軌，達到解決問題的目的。
笛卡爾的方程思想是：實際問題→數學問題→代數問題→方程問題。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我們知道，哪裏有等式，哪裏就有方程；哪裏有公式，哪裏就有方程；求值問題是通過解方程來實現的……等等；不等式問題也與方程是近親，密切相關。而函數和多元方程沒有什麼本質的區別，如函數y＝f(x)，就可以看作關於x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以說，函數的研究離不開方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應用方程思想時需要重點考慮的。
函數描述了自然界中數量之間的關係，函數思想通過提出問題的數學特徵，建立函數關係型的數學模型，從而進行研究。它體現了“聯繫和變化”的辯證唯物主義觀點。一般地，函數思想是構造函數從而利用函數的性質解題，經常利用的性質是：f(x)、f (x)的單調性、奇偶性、週期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數的具體特性。在解題中，善於挖掘題目中的隱含條件，構造出函數解析式和妙用函數的性質，是應用函數思想的關鍵。對所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時，才能產生由此及彼的聯繫，構造出函數原型。另外，方程問題、不等式問題和某些代數問題也可以轉化爲與其相關的函數問題，即用函數思想解答非函數問題。
函數知識涉及的知識點多、面廣，在概念性、應用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重點。我們應用函數思想的幾種常見題型是：遇到變量，構造函數關係解題；有關的不等式、方程、最小值和最大值之類的問題，利用函數觀點加以分析；含有多個變量的數學問題中，選定合適的主變量，從而揭示其中的函數關係；實際應用問題，翻譯成數學語言，建立數學模型和函數關係式，應用函數性質或不等式等知識解答；等差、等比數列中，通項公式、前n項和的公式，都可以看成n的函數，數列問題也可以用函數方法解決。
等價轉化
等價轉化是把未知解的問題轉化到在已有知識範圍內可解的問題的一種重要的思想方法。通過不斷的轉化，把不熟悉、不規範、複雜的問題轉化爲熟悉、規範甚至模式法、簡單的問題。歷年高考，等價轉化思想無處不見，我們要不斷培養和訓練自覺的轉化意識，將有利於強化解決數學問題中的應變能力，提高思維能力和技能、技巧。轉化有等價轉化與非等價轉化。等價轉化要求轉化過程中前因後果是充分必要的，才保證轉化後的結果仍爲原問題的結果。非等價轉化其過程是充分或必要的，要對結論進行必要的修正（如無理方程化有理方程要求驗根），它能給人帶來思維的閃光點，找到解決問題的突破口。我們在應用時一定要注意轉化的等價性與非等價性的不同要求，實施等價轉化時確保其等價性，保證邏輯上的正確。
著名的數學家，莫斯科大學教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數學奧林匹克參賽者發表《什麼叫解題》的演講時提出：“解題就是把要解題轉化爲已經解過的題”。數學的解題過程，就是從未知向已知、從複雜到簡單的化歸轉換過程。
等價轉化思想方法的特點是具有靈活性和多樣性。在應用等價轉化的思想方法去解決數學問題時，沒有一個統一的模式去進行。它可以在數與數、形與形、數與形之間進行轉換；它可以在宏觀上進行等價轉化，如在分析和解決實際問題的過程中，普通語言向數學語言的翻譯；它可以在符號系統內部實施轉換，即所說的恆等變形。消去法、換元法、數形結合法、求值求範圍問題等等，都體現了等價轉化思想，我們更是經常在函數、方程、不等式之間進行等價轉化。可以說，等價轉化是將恆等變形在代數式方面的形變上升到保持命題的真假不變。由於其多樣性和靈活性，我們要合理地設計好轉化的途徑和方法，避免死搬硬套題型。
在數學操作中實施等價轉化時，我們要遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標準化的原則，即把我們遇到的問題，通過轉化變成我們比較熟悉的問題來處理；或者將較爲繁瑣、複雜的問題，變成比較簡單的問題，比如從超越式到代數式、從無理式到有理式、從分式到整式…等；或者比較難以解決、比較抽象的問題，轉化爲比較直觀的問題，以便準確把握問題的求解過程，比如數形結合法；或者從非標準型向標準型進行轉化。按照這些原則進行數學操作，轉化過程省時省力，有如順水推舟，經常滲透等價轉化思想，可以提高解題的水平和能力。
分類討論
在解答某些數學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，並逐類求解，然後綜合得解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現了化整爲零、積零爲整的思想與歸類整理的方法。有關分類討論思想的數學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中佔有重要的位置。
引起分類討論的原因主要是以下幾個方面：
① 問題所涉及到的數學概念是分類進行定義的。如|a|的定義分a>0、a＝0、a<0三種情況。這種分類討論題型可以稱爲概念型。
② 問題中涉及到的數學定理、公式和運算性質、法則有範圍或者條件限制，或者是分類給出的。如等比數列的前n項和的公式，分q＝1和q≠1兩種情況。這種分類討論題型可以稱爲性質型。
③ 解含有參數的題目時，必須根據參數的不同取值範圍進行討論。如解不等式ax>2時分a>0、a＝0和a<0三種情況討論。這稱爲含參型。
另外，某些不確定的數量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結論等，都主要通過分類討論，保證其完整性，使之具有確定性。
進行分類討論時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標準是統一的，不遺漏、不重複，科學地劃分，分清主次，不越級討論。其中最重要的一條是“不漏不重”。
解答分類討論問題時，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的範圍；其次確定分類標準，正確進行合理分類，即標準統一、不漏不重、分類互斥（沒有重複）；再對所分類逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結果；最後進行歸納小結，綜合得出結論。
數形結合
中學數學的基本知識分三類：一類是純粹數的知識，如實數、代數式、方程（組）、不等式（組）、函數等；一類是關於純粹形的知識，如平面幾何、立體幾何等；一類是關於數形結合的知識，主要體現是解析幾何。
數形結合是一個數學思想方法，包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，其應用大致可以分爲兩種情形：或者是藉助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯繫，即以形作爲手段，數爲目的，比如應用函數的圖像來直觀地說明函數的性質；或者是藉助於數的精確性和規範嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作爲手段，形作爲目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質。
恩格斯曾說過：“數學是研究現實世界的量的關係與空間形式的科學。”數形結合就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯繫，既分析其代數意義，又揭示其幾何直觀，使數量關的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，充分利用這種結合，尋找解題思路，使問題化難爲易、化繁爲簡，從而得到解決。“數”與“形”是一對矛盾，宇宙間萬物無不是“數”和“形”的矛盾的統一。華羅庚先生說過：數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休。
數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化。在運用數形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特徵，對數學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數意義；第二是恰當設參、合理用參，建立關係，由數思形，以形想數，做好數形轉化；第三是正確確定參數的取值範圍。
數學中的知識，有的本身就可以看作是數形的結合。如：銳角三角函數的定義是藉助於直角三角形來定義的；任意角的三角函數是藉助於直角座標系或單位圓來定義的。
數學建模
數學建模就是用數學語言描述實際現象的過程。這裏的實際現象既包涵具體的自然現象比如自由落體現象，也包涵抽象的現象比如顧客對某種商品所取的價值傾向。這裏的描述不但包括外在形態，內在機制的描述，也包括預測，試驗和解釋實際現象等內容。
我們也可以這樣直觀地理解這個概念：數學建模是一個讓純粹數學家（指只懂數學不懂數學在實際中的應用的數學家）變成物理學家，生物學家，經濟學家甚至心理學家等等的過程。
數學模型一般是實際事物的一種數學簡化。它常常是以某種意義上接近實際事物的抽象形式存在的，但它和真實的事物有着本質的區別。要描述一個實際現象可以有很多種方式，比如錄音，錄像，比喻，傳言等等。爲了使描述更具科學性，邏輯性，客觀性和可重複性，人們採用一種普遍認爲比較嚴格的語言來描述各種現象，這種語言就是數學。使用數學語言描述的事物就稱爲數學模型。有時候我們需要做一些實驗，但這些實驗往往用抽象出來了的數學模型作爲實際物體的代替而進行相應的實驗，實驗本身也是實際操作的一種理論替代。
數學是研究現實世界數量關係和空間形式的科學，在它產生和發展的歷史長河中，一直是和各種各樣的應用問題緊密相關的。數學的特點不僅在於概念的抽象性、邏輯的嚴密性，結論的明確性和體系的完整性，而且在於它應用的廣泛性，進入20世紀以來，隨着科學技術的迅速發展和計算機的日益普及，人們對各種問題的要求越來越精確，使得數學的應用越來越廣泛和深入，特別是在即將進入21世紀的知識經濟時代，數學科學的地位會發生巨大的變化，它正在從國或經濟和科技的後備走到了前沿。經濟發展的全球化、計算機的迅猛發展，數學理倫與方法的不斷擴充使得數學已經成爲當代高科技的一個重要組成部分和思想庫，數學已經成爲一種能夠普遍實施的技術。培養學生應用數學的意識和能力已經成爲數學教學的一個重要方面。
應用數學去解決各類實際問題時，建立數學模型是十分關鍵的一步，同時也是十分困難的一步。建立教學模型的過程，是把錯綜複雜的實際問題簡化、抽象爲合理的數學結構的過程。要通過調查、收集數據資料，觀察和研究實際對象的固有特徵和內在規律，抓住問題的主要矛盾，建立起反映實際問題的數量關係，然後利用數學的理論和方法去分析和解決問題。這就需要深厚紮實的數學基礎，敏銳的洞察力和想象力，對實際問題的濃厚興趣和廣博的知識面。數學建模是聯繫數學與實際問題的橋樑，是數學在各個領械廣泛應用的媒介，是數學科學技術轉化的主要途徑，數學建模在科學技術發展中的重要作用越來越受到數學界和工程界的普遍重視，它已成爲現代科技工作者必備的重要能力之。爲了適應科學技術發展的需要和培養高質量、高層次科技人才，數學建模已經在大學教育中逐步開展，國內外越來越多的大學正在進行數學建模課程的教學和參加開放性的數學建模競賽，將數學建模教學和競賽作爲高等院校的教學改革和培養高層次的科技人才的個重要方面，現在許多院校正在將數學建模與教學改革相結合，努力探索更有效的數學建模教學法和培養面向21世紀的人才的新思路，與我國高校的其它數學類課程相比，數學建模具有難度大、涉及面廣、形式靈活，對教師和學生要求高等特點，數學建模的教學本身是一個不斷探索、不斷創新、不斷完善和提高的過程。爲了改變過去以教師爲中心、以課堂講授爲主、以知識傳授爲主的傳統教學模式，數學建模課程指導思想是：以實驗室爲基礎、以學生爲中心、以問題爲主線、以培養能力爲目標來組織教學工作。通過教學使學生了解利用數學理論和方法去分析和解決問題的全過程，提高他們分析問題和解決問題的能力；提高他們學習數學的興趣和應用數學的意識與能力，使他們在以後的工作中能經常性地想到用數學去解決問題，提高他們儘量利用計算機軟件及當代高新科技成果的意識，能將數學、計算機有機地結合起來去解決實際問題。數學建模以學生爲主，教師利用一些事先設計好問題啓發，引導學生主動查閱文獻資料和學習新知識，鼓勵學生積極開展討論和辯論，培養學生主動探索，努力進取的學風，培養學生從事科研工作的初步能力，培養學生團結協作的精神、形成一個生動活潑的環境和氣氛，教學過程的重點是創造一個環境去誘導學生的學習慾望、培養他們的自學能力，增強他們的數學素質和創新能力，提高他們的數舉素質，強調的是獲取新知識的能力，是解決問題的過程，而不是知識與結果。接受參加數學建模競賽賽前培訓的同學大都需要學習諸如數理統計、最優化、圖論、微分方程、計算方法、神經網絡、層次分析法、模糊數學，數學軟件包的使用等等“短課程”（或講座），用的學時不多，多數是啓發性的講一些基本的概念和方法，主要是靠同學們自己去學，充分調動同學們的積極性，充分發揮同學們的潛能。培訓中廣泛地採用的討論班方式，同學自己報告、討論、辯論，教師主要起質疑、答疑、輔導的作用，競賽中一定要使用計算機及相應的軟件，如Mathemathmatica,Matlab,Mapple，甚至排版軟件等。
數學建模的幾個過程：
模型準備：瞭解問題的實際背景，明確其實際意義，掌握對象的各種信息。用數學語言來描述問題。
模型假設：根據實際對象的特徵和建模的目的，對問題進行必要的簡化，並用精確的語言提出一些恰當的假設。
模型建立：在假設的基礎上，利用適當的數學工具來刻劃各變量之間的數學關係，建立相應的數學結構。（儘量用簡單的數學工具）
模型求解：利用獲取的數據資料，對模型的所有參數做出計算（估計）。
模型分析：對所得的結果進行數學上的分析。
模型檢驗：將模型分析結果與實際情形進行比較，以此來驗證模型的準確性、合理性和適用性。如果模型與實際較吻合，則要對計算結果給出其實際含義，並進行解釋。如果模型與實際吻合較差,則應該修改假設，再次重複建模過程。
模型應用：應用方式因問題的性質和建模的目的而異。
0
頂