UOJ#205. 【APIO2016】Fireworks【動態規劃+折線優化+可並堆】

題目大意：

給出一棵樹，邊有邊權，可以花費1的代價把一條邊的權值加1或者­1，不能減到負的。
要讓根到所有葉子的邊權和都相等。問最小代價。
n<=600000

解題思路：

設 fx(i)$f_x(i)$ 表示 x$x$ 的子樹中的葉子到 x$x$ 距離全部搞成 i$i$ 的最小代價。
設 gx(i)$g_x(i)$ 表示 x$x$ 的子樹中的葉子到 fax$f{a}_x$ 的距離全部搞成 i$i$ 的最小代價。
那麼有dp方程：

fx(i)=∑y∈sonxgy(i)$$f_x(i)=\sum _{y\in so{n}_x}{g}_y(i)$$

gx(i)=minδ≥−axfx(i−ax−δ)+|δ|$$g_x(i)=\underset{\delta \ge -a_x}{min}{f}_x(i-a_x-\delta )+|\delta |$$

直接dp是O(n2)$O(n^2)$ 的，考慮優化。
注意 fx(i)，gx(i)$f_x(i)，g_x(i)$ 是關於的一條線性下凸折線，證明可以考慮從葉子是線性下凸折線開始往上推。

考慮 gx$g_x$ 是如何從 fx$f_x$ 轉變的。
先是由 fx$f_x$ 整體右移 ax$a_x$ 。
δ$\delta$ 是沒有上界的，相當於右邊都能從左邊更新，根據dp方程，直接把最右側斜率 ≥2$\ge 2$ 的部分都扔掉就行了。
δ$\delta$ 有個下界，相當於 i$i$ 可以從 ≤i+ax$\le i+a_x$ 的範圍內更新，畫圖觀察可以發現就是把斜率 ≤−1$\le -1$ 的部分往平移了向量(−ax,ax)$(-a_x,a_x)$ 。

fx$f_x$ 就是把所有兒子的折線合併。

如果我們維護的是折線拐點的橫座標，設 x$x$ 有 cnt$cnt$ 個兒子，斜率≥2$\ge 2$ 的拐點就有 cnt−1$cnt-1$ 個，刪除後就只有斜率爲0和1的拐點座標增加了 ax$a_x$ 。

以上操作都可以用可並堆維護，時間複雜度爲 O(nlogn)$O(nlogn)$ 。

最後如何計算答案？注意到 f1(0)=∑ai$f_1(0)=\sum a_i$ ，再把拐點從左到右計算一下就可得到折線最小值了。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int getint()
{
    int i=0,f=1;char c;
    for(c=getchar();(c!='-')&&(c<'0'||c>'9');c=getchar());
    if(c=='-')c=getchar(),f=-1;
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0';
    return i*f;
}
const int N=6e5+5;
ll sum,v[N];
int n,m,fa[N],w[N],son[N];
int tot,rt[N],l[N],r[N];
int merge(int x,int y)
{
    if(!x||!y)return x+y;
    if(v[x]<v[y])swap(x,y);
    r[x]=merge(r[x],y);
    swap(l[x],r[x]);
    return x;
}
int pop(int x){return merge(l[x],r[x]);}
void dfs(int x)
{
    if(!x)return;
    sum-=v[x];
    dfs(l[x]),dfs(r[x]);
}
int main()
{
    //freopen("lx.in","r",stdin);
    n=getint(),m=getint();
    for(int i=2;i<=n+m;i++)
    {
        fa[i]=getint(),w[i]=getint();
        sum+=w[i],son[fa[i]]++;
    }
    for(int i=n+m;i>1;i--)
    {
        ll L=0,R=0;
        if(son[i])
        {
            while(--son[i])rt[i]=pop(rt[i]);
            R=v[rt[i]],rt[i]=pop(rt[i]);
            L=v[rt[i]],rt[i]=pop(rt[i]);
        }
        v[++tot]=L+w[i],v[++tot]=R+w[i];
        rt[i]=merge(rt[i],merge(tot,tot-1));
        rt[fa[i]]=merge(rt[fa[i]],rt[i]);
    }
    while(son[1]--)rt[1]=pop(rt[1]);
    dfs(rt[1]);cout<<sum<<'\n';
    return 0;
}