LeetCode - 120. Triangle

題目中給出的三角形有一個樹狀的結構，這就可以讓我們想到使用遍歷之類的算法比如說DFS。但是如果我們忍者你分析一下的話，可以發現相鄰的結點總是分享同一條邊，也就是說，這道題目中存在重疊子問題(overlapping subproblems)。另外，假設結點x和結點y是k的孩子，只要從底層到結點x和y的最短路徑長度都能夠知道，那麼從底層到結點k的最短路徑長度可以在O(1)時間內判斷出來，這就是最優子結構(optimal subtructure)。因此，就時間複雜度考慮，動態規劃或許是一個不錯的解法。

我們從底層向上看，也就是Bottom-up DP，最底層結點的minPath就是它們自身的值，而上一層節點的minPath是它下方左側結點和下方右側節點的最小值加上自身的值，根據這個規律，我們可以寫出下面的遞推式：

minPath[k][i] = min(minPath[k + 1][i], minPath[k + 1][i + 1]) + triangle[k][i]；

到現在我們已經可以解決這道題目了，但是我們額外需要題目給出的triangle大小的額外空間用來存儲中間結果，當triangle很大的時候，這個算法可能會消耗大量的內存，那麼這個算法可否進行優化呢？答案是可以的，進一步地觀察我們可以發現，當第k層的所有結點的minPath都已經計算出來之後，第k + 1層所有階段的minPath都已經不再會用到了，所以我們可以使用一個數組，通過不斷地賦給它每一層結點的minPath實現遞推和迭代，也就是下面的公式：

minPath[k] = min(minPath[k] + minPath[k + 1]) + triangle[k][i](這裏等號右側的minPath[k]和minPath[k + 1]是上一層的minPath，等號左側爲這一層的minPath)；

注意在最底層的時候，元素的數量爲n，根據上面的遞推式，我們需要長度爲n + 1的數組。這個算法的時間複雜度爲O(n*2)，空間複雜度爲O(n)，代碼如下：

public class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        if(triangle == null || triangle.size() == 0 || triangle.get(0).size() == 0) return 0;      // corner case
        
        int[] minLength = new int[triangle.size() + 1];
        for(int layer = triangle.size() - 1; layer >= 0; layer--){
            for(int i = 0; i < triangle.get(layer).size(); i++){
                minLength[i] = triangle.get(layer).get(i) + Math.min(minLength[i], minLength[i + 1]);
            }
        }
        
        return minLength[0];
    }
}

知識點：

1. 動態規劃問題的分析思路

2. 動態規劃的優化方式，首先寫出非優化版本的算法，然後在使用空間的問題上通過分析問題發現是否可以迭代，如果可以迭代則進行優化