首先希望大家理解最長公共子序列和最長公共字串的區別，即最長公共子序列不需要連續，如下圖。誤解了概念曾經讓我糾結好一陣子、、
一： 作用
最長公共子序列的問題常用於解決字符串的相似度，是一個非常實用的算法，作爲碼農，此算法是我們的必備基本功。
二：概念
舉個例子，cnblogs這個字符串中子序列有多少個呢？很顯然有27個，比如其中的cb,cgs等等都是其子序列，我們可以看出
子序列不見得一定是連續的，連續的那是子串。
我想大家已經瞭解了子序列的概念，那現在可以延伸到兩個字符串了，那麼大家能夠看出：cnblogs和belong的公共子序列嗎？
在你找出的公共子序列中，你能找出最長的公共子序列嗎？
從圖中我們看到了最長公共子序列爲blog，仔細想想我們可以發現其實最長公共子序列的個數不是唯一的，可能會有兩個以上，
但是長度一定是唯一的，比如這裏的最長公共子序列的長度爲4。
三：解決方案
<1> 枚舉法
這種方法是最簡單，也是最容易想到的，當然時間複雜度也是龜速的，我們可以分析一下，剛纔也說過了cnblogs的子序列
個數有27個 ，延伸一下：一個長度爲N的字符串，其子序列有2N個，每個子序列要在第二個長度爲N的字符串中去匹配，匹配一次
需要O(N)的時間，總共也就是O(N*2N)，可以看出，時間複雜度爲指數級，恐怖的令人窒息。
<2> 動態規劃
既然是經典的題目肯定是有優化空間的，並且解題方式是有固定流程的，這裏我們採用的是矩陣實現，也就是二維數組。
第一步：先計算最長公共子序列的長度。
第二步：根據長度，然後通過回溯求出最長公共子序列。
現有兩個序列X={x1,x2,x3，...xi}，Y={y1,y2,y3，....，yi}，
設一個C[i,j]: 保存Xi與Yj的LCS的長度。
遞推方程爲：
不知道大家看懂了沒？動態規劃的一個重要性質特點就是解決“子問題重疊”的場景，可以有效的避免重複計算，根據上面的
公式其實可以發現C[i,j]一直保存着當前(Xi,Yi)的最大子序列長度。
1 using System; 2 namespace ConsoleApplication2 3 { 4 public class Program 5 { 6 static int[,] martix; 7 8 static string str1 = "cnblogs"; 9 static string str2 = "belong"; 10 11 static void Main(string[] args) 12 { 13 martix = new int[str1.Length + 1, str2.Length + 1]; 14 15 LCS(str1, str2); 16 17 //只要拿出矩陣最後一個位置的數字即可 18 Console.WriteLine("當前最大公共子序列的長度爲:{0}", martix[str1.Length, str2.Length]); 19 20 Console.Read(); 21 } 22 23 static void LCS(string str1, string str2) 24 { 25 //初始化邊界，過濾掉0的情況 26 for (int i = 0; i <= str1.Length; i++) 27 martix[i, 0] = 0; 28 29 for (int j = 0; j <= str2.Length; j++) 30 martix[0, j] = 0; 31 32 //填充矩陣 33 for (int i = 1; i <= str1.Length; i++) 34 { 35 for (int j = 1; j <= str2.Length; j++) 36 { 37 //相等的情況 38 if (str1[i - 1] == str2[j - 1]) 39 { 40 martix[i, j] = martix[i - 1, j - 1] + 1; 41 } 42 else 43 { 44 //比較“左邊”和“上邊“，根據其max來填充 45 if (martix[i - 1, j] >= martix[i, j - 1]) 46 martix[i, j] = martix[i - 1, j]; 47 else 48 martix[i, j] = martix[i, j - 1]; 49 } 50 } 51 } 52 } 53 } 54 }
圖大家可以自己畫一畫，代碼完全是根據上面的公式照搬過來的，長度的問題我們已經解決了，這次要解決輸出最長子序列的問題，
我們採用一個標記函數Flag[i,j]，當
①：C[i,j]=C[i-1,j-1]+1 時 標記Flag[i,j]="left_up"; （左上方箭頭）
②：C[i-1,j]>=C[i,j-1] 時 標記Flag[i,j]="left"; （左箭頭）
③: C[i-1,j]<C[i,j-1] 時 標記Flag[i,j]="up"; （上箭頭）
例如：我輸入兩個序列X=acgbfhk，Y=cegefkh。
1 using System; 2 3 namespace ConsoleApplication2 4 { 5 public class Program 6 { 7 static int[,] martix; 8 9 static string[,] flag; 10 11 static string str1 = "acgbfhk"; 12 13 static string str2 = "cegefkh"; 14 15 static void Main(string[] args) 16 { 17 martix = new int[str1.Length + 1, str2.Length + 1]; 18 19 flag = new string[str1.Length + 1, str2.Length + 1]; 20 21 LCS(str1, str2); 22 23 //打印子序列 24 SubSequence(str1.Length, str2.Length); 25 26 Console.Read(); 27 } 28 29 static void LCS(string str1, string str2) 30 { 31 //初始化邊界，過濾掉0的情況 32 for (int i = 0; i <= str1.Length; i++) 33 martix[i, 0] = 0; 34 35 for (int j = 0; j <= str2.Length; j++) 36 martix[0, j] = 0; 37 38 //填充矩陣 39 for (int i = 1; i <= str1.Length; i++) 40 { 41 for (int j = 1; j <= str2.Length; j++) 42 { 43 //相等的情況 44 if (str1[i - 1] == str2[j - 1]) 45 { 46 martix[i, j] = martix[i - 1, j - 1] + 1; 47 flag[i, j] = "left_up"; 48 } 49 else 50 { 51 //比較“左邊”和“上邊“，根據其max來填充 52 if (martix[i - 1, j] >= martix[i, j - 1]) 53 { 54 martix[i, j] = martix[i - 1, j]; 55 flag[i, j] = "left"; 56 } 57 else 58 { 59 martix[i, j] = martix[i, j - 1]; 60 flag[i, j] = "up"; 61 } 62 } 63 } 64 } 65 } 66 67 static void SubSequence(int i, int j) 68 { 69 if (i == 0 || j == 0) 70 return; 71 72 if (flag[i, j] == "left_up") 73 { 74 Console.WriteLine("{0}: 當前座標:（{1},{2}）", str2[j - 1], i - 1, j - 1); 75 76 //左前方 77 SubSequence(i - 1, j - 1); 78 } 79 else 80 { 81 if (flag[i, j] == "up") 82 { 83 SubSequence(i, j - 1); 84 } 85 else 86 { 87 SubSequence(i - 1, j); 88 } 89 } 90 } 91 } 92 }
由於直接繪圖很麻煩，嘿嘿，我就用手機拍了張：
好，我們再輸入兩個字符串：
1 static string str1 = "abcbdab"; 2 3 static string str2 = "bdcaba";
通過上面的兩張圖，我們來分析下它的時間複雜度和空間複雜度。
時間複雜度：構建矩陣我們花費了O(MN)的時間，回溯時我們花費了O（M+N)的時間，兩者相加最終我們花費了O(MN)的時間。
空間複雜度：構建矩陣我們花費了O(MN)的空間，標記函數也花費了O(MN)的空間，兩者相加最終我們花費了O(MN)的空間。