一道算法題的數學分析

題目：

一個實數序列：a_i = (a_i-1–a_i+1)/2 + d, (1<i<N) (N<60)。鍵盤輸入N, d, a₁, a_n, m，求a_m。

分析：

一看即知：這是一個數學味道極濃的算法題，首先需要一番推理分析才能編程，否則會無處下手。

1）首先，我們對數列的遞推式進行一番變換：
a_i+1 = a_i-1 + 2d – 2 a_i
a_i  = a_i-2 - 2 a_i-1 + 2d  ①
a₄ = a₂ - 2 a₃ + 2d = 5a₂ - 2 a₁ - 2d

 

2）數列中各元素間沒有乘除運算，所以這是一個線性遞推的數列，因此公式①中各項的係數一定存在一個線性規律，而且是各項係數本身的規律，與其它係數沒有關係，因此如果能夠找到這些規律，那麼這道題也就應刃而解了。
遞推如下：
a₃  = a₁ - 2 a₂ + 2d
a₄ = a₂ - 2 a₃ + 2d = 5a₂ - 2 a₁ - 2d

 

題目中a1已知，未知的是a2，

所以可以令：a2 = X, 各項係數爲Pi, Qi, Ri, 則：

A_{i -1}= P_i-1*X+Q_i-1*a₁+R_i-1*d,

A_i = P_i*X+Q_i*a₁+R_i*d,

A_i+1 = P_i+1*X+Q_i+1*a₁+R_i+1*d,

再由公式①，可以求出Pi,Qi,Ri各自的遞推公式。

以下略。。。