卷積的有意思解釋

最幽默的解釋 卷積的物理意義 
談起卷積分當然要先說說衝擊函數—-這個倒立的小蝌蚪，卷積其實就是爲它誕生的。”衝擊函數”是狄拉克爲了解決一些瞬間作用的物理現象而提出的符號。 
古人曰：”說一堆大道理不如舉一個好例子”，衝量這一物理現象很能說明”衝擊函數”。在t時間內對一物體作用F的力，我們可以讓作用時間t很小，作用力F很大，但讓Ft的乘積不變，即衝量不變。於是在用t做橫座標、F做縱座標的座標系中，就如同一個面積不變的長方形，底邊被擠的窄窄的，高度被擠的高高的，在數學中它可以被擠到無限高，但即使它無限瘦、無限高、但它仍然保持面積不變（它沒有被擠沒！），爲了證實它的存在，可以對它進行積分，積分就是求面積嘛！於是”卷積” 這個數學怪物就這樣誕生了。說它是數學怪物是因爲追求完美的數學家始終在頭腦中轉不過來彎，一個能瘦到無限小的傢伙，竟能在積分中佔有一席之地，必須將這個細高挑清除數學界。但物理學家、工程師們確非常喜歡它，因爲它解決了很多當時數學家解決不了的實際問題。最終追求完美的數學家終於想通了，數學是來源於實際的，並最終服務於實際纔是真。於是，他們爲它量身定做了一套運作規律。於是，媽呀！你我都感覺眩暈的卷積分產生了。 

例子： 
有一個七品縣令，喜歡用打板子來懲戒那些市井無賴，而且有個慣例：如果沒犯大罪，只打一板，釋放回家，以示愛民如子。 
有一個無賴，想出人頭地卻沒啥指望，心想：既然揚不了善名，出惡名也成啊。怎麼出惡名？炒作唄！怎麼炒作？找名人呀！他自然想到了他的行政長官——縣令。 
無 賴於是光天化日之下，站在縣衙門前撒了一泡尿，後果是可想而知地，自然被請進大堂捱了一板子，然後昂首挺胸回家，躺了一天，嘿！身上啥事也沒有！第二天如 法炮製，全然不顧行政長管的仁慈和衙門的體面，第三天、第四天……每天去縣衙門領一個板子回來，還喜氣洋洋地，堅持一個月之久！這無賴的名氣已經 和衙門口的臭氣一樣，傳遍八方了！ 
縣令大人噤着鼻子，呆呆地盯着案子上的驚堂木，擰着眉頭思考一個問題：這三十個大板子怎麼不好使捏？……想當初，本老爺金榜題名時，數學可是得了滿分，今天好歹要解決這個問題： 
——人（系統！）挨板子（脈衝！）以後，會有什麼表現（輸出！）？ 
——費話，疼唄！ 
——我問的是：會有什麼表現？ 
——看疼到啥程度。像這無賴的體格，每天挨一個板子啥事都不會有，連哼一下都不可能，你也看到他那得意洋洋的嘴臉了（輸出0）；如果一次連揍他十個板子，他可能會皺皺眉頭，咬咬牙，硬挺着不哼 
（輸出1）；揍到二十個板子，他會疼得臉部扭曲，象豬似地哼哼（輸出3）；揍到三十個板子，他可能會象驢似地嚎叫，一把鼻涕一把淚地求你饒他一命（輸出5）；揍到四十個板子，他會大小便失禁，勉 
強哼出聲來（輸出1）；揍到五十個板子，他連哼一下都不可能（輸出0）——死啦！ 
縣令鋪開座標紙，以打板子的個數作爲X軸，以哼哼的程度（輸出）爲Y軸，繪製了一條曲線： 
——嗚呼呀！這曲線象一座高山，弄不懂弄不懂。爲啥那個無賴連捱了三十天大板卻不喊繞命呀？ 
—— 呵呵，你打一次的時間間隔（Δτ=24小時）太長了，所以那個無賴承受的痛苦程度一天一利索，沒有疊加，始終是一個常數；如果縮短打板子的時間間隔（建議 Δτ=0.5秒），那他的痛苦程度可就迅速疊加了；等到這無賴挨三十個大板（t=30）時，痛苦程度達到了他能喊叫的極限，會收到最好的懲戒效果，再多打 就顯示不出您的仁慈了。 
——還是不太明白，時間間隔小，爲什麼痛苦程度會疊加呢？ 
——這與人（線性時不變系統）對板子（脈衝、輸入、激 勵）的響應有關。什麼是響應？人挨一個板子後，疼痛的感覺會在一天（假設的，因人而異）內慢慢消失（衰減），而不可能突然消失。這樣一來，只要打板子的時 間間隔很小，每一個板子引起的疼痛都來不及完全衰減，都會對最終的痛苦程度有不同的貢獻： 
t個大板子造成的痛苦程度=Σ(第τ個大板子引起的痛苦*衰減係數) 
[衰減係數是（t-τ）的函數，仔細品味] 
數學表達爲：y(t)=∫T(τ)H(t-τ) 
——拿人的痛苦來說卷積的事，太殘忍了。除了人以外，其他事物也符合這條規律嗎？ 
——呵呵，縣令大人畢竟仁慈。其實除人之外，很多事情也遵循此道。好好想一想，鐵絲爲什麼彎曲一次不折，快速彎曲多次卻會輕易折掉呢？ 
——恩，一時還弄不清，容本官慢慢想來——但有一點是明確地——來人啊，將撒尿的那個無賴抓來，狠打40大板！ 

卷積及拉普拉斯變換的通俗解釋–對於我這類沒學過信號系統的人來說太需要了 
卷積(convolution, 另一個通用名稱是德文的Faltung)的名稱由來，是在於當初定義它時，定義成 integ(f1(v)*f2(t-v))dv，積分區間在0到t之間。舉個簡單的例子，大家可以看到，爲什麼叫”卷積”了。比方說在(0，100)間積 分，用簡單的辛普生積分公式，積分區間分成100等分，那麼看到的是f1(0)和f2(100)相乘，f1(1)和f2(99)相乘，f1(2)和f2 (98)相乘，……… 等等等等，就象是在座標軸上回卷一樣。所以人們就叫它”回捲積分”，或者”卷積”了。 
爲 了理解”卷積”的物理意義，不妨將那個問題”相當於它的時域的信號與系統的單位脈衝響應的卷積”略作變化。這個變化純粹是爲了方便表達和理解，不影響任何 其它方面。將這個問題表述成這樣一個問題：一個信號通過一個系統，系統的響應是頻率響應或波譜響應，且看如何理解卷積的物理意義。 
假設信號函數爲f, 響應函數爲g。f不僅是時間的函數(信號時有時無)，還是頻率的函數(就算在某一固定時刻，還有的地方大有的地方小)；g也是時間的函數(有時候有反應， 有時候沒反應)，同時也是頻率的函數(不同的波長其響應程度不一樣)。那我們要看某一時刻 t 的響應信號，該怎麼辦呢？ 
這就需要卷積了。 
要看某一時刻 t 的響應信號，自然是看下面兩點： 
1。你信號來的時候正趕上人家”系統”的響應時間段嗎？ 
2。就算趕上系統響應時間段，響應有多少？ 
響 應不響應主要是看 f 和 g 兩個函數有沒有交疊；響應強度的大小不僅取決於所給的信號的強弱，還取決於在某頻率處對單位強度響應率。響應強度是信號強弱和對單位強度信號響應率的乘 積。”交疊”體現在f(t1)和g(t-t1)上，g之所以是”(t-t1)”就是看兩個函數錯開多少。 
由於 f 和 g 兩個函數都有一定的帶寬分佈(假若不用開頭提到的”表述變化”就是都有一定的時間帶寬分佈)，這個信號響應是在一定”範圍”內廣泛響應的。算總的響應信 號，當然要把所有可能的響應加起來，實際上就是對所有可能t1積分了。積分範圍雖然一般在負無窮到正無窮之間；但在沒有信號或者沒有響應的地方，積也是白 積，結果是0，所以往往積分範圍可以縮減。 
這就是卷積及其物理意義啊。併成一句話來說，就是看一個時有時無(當然作爲特例也可以永恆存在)的信號，跟一個響應函數在某一時刻有多大交疊。 
*********拉普拉斯********* 
拉普拉斯(1729-1827) 是法國數學家，天文學家，物理學家。他提出拉普拉斯變換(Laplace Transform) 的目的是想要解決他當時研究的牛頓引力場和太陽系的問題中涉及的積分微分方程。 
拉普拉斯變換其實是一個數學上的簡便算法；想要了解其”物理”意義 — 如果有的話 — 請看我舉這樣一個例子： 
問題：請計算十萬乘以一千萬。 
對於沒學過指數的人，就只會直接相乘；對於學過指數的人，知道不過是把乘數和被乘數表達成指數形式後，兩個指數相加就行了；如果要問究竟是多少，把指數轉回來就是。 
“拉 普拉斯變換” 就相當於上述例子中把數轉換成”指數” 的過程；進行了拉普拉斯變換之後，複雜的微分方程(對應於上例中”複雜”的乘法) 就變成了簡單的代數方程，就象上例中”複雜”的乘法變成了簡單的加減法。再把簡單的代數方程的解反變換回去(就象把指數重新轉換會一般的數一樣)，就解決 了原來那個複雜的微分方程。 
所以要說拉普拉斯變換真有” 物理意義”的話，其物理意義就相當於人們把一般的有理數用指數形式表達一樣。 
另外說兩句題外話： 
1 。拉普拉斯變換之所以現在在電路中廣泛應有，根本原因是電路中也廣泛涉及了微分方程。 
2。 拉普拉斯變換與Z變換當然有緊密聯繫；其本質區別在於拉氏變換處理的是時間上連續的問題，Z變換處理的是時間上分立的問題。 

Signals, Linear Systems, and Convolution 
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http://www.cns.nyu.edu/~david/handouts/convolution.pdf