計算t的m次冪的方法：(探索c++的函數pow()的實現方法，數學與程序設計的結合)
歡迎看看另一篇文章《實現log()和exp()函數的方法,並以此計算pow() 》增加了對Taylor展開後的進一步處理。
源程序下載：http://pjy.studio.googlepages.com/powP.cpp
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由於c++剛學完函數一章，而練習需要用pow()這個函數，於是就特發奇想，想自己能否寫一個能實現pow()功能的函數，經過一段努力，算有了一些結果。
衆所周知，pow(double t,double m)是c++提供計算x的y次冪的函數，雖然系統提供了這個pow(),但我還是想自己寫一個自己的pow()。不過要寫出這個pow可能不太容易，因爲 指數m要求是double的，即可以是小數，那就不是簡單的循環可以做出的。
剛開始想這個問題時，第一個想法是把y的整數部分和小數部分分離，例如若m＝12.34，則把x^12.34轉化爲(x^12)*(x^34)/ (x^100),這樣就把指數爲double的情況轉化爲三個指數爲int的情況。而取其整數，最簡單的方法可能是int(y)了，而去小數則用m- int(m)即可，然後把小數按例子那樣分離。不過這裏可能存在兩個問題：
1.int(y)可能會造成意想不到的結果，例如數據掉失。
2.把一個浮點數分成三部份的工作比較麻煩。
以上兩點，再加上我估計c++不大可能會用這種方法，而應該從數學方法去入手，所以我就另覓途徑了。說來也是比較巧合，我的數學分析課剛好學完了冪級數這一章，我就有了用把t^m展開成冪級數這一方向入手的想法，而剛好書上有這個例子：
由冪級數的知識推出當-1<x<1，n->無窮(n爲整數)時恆有：(1+x)^m=1+mx+....[m*(m-1)*..*(m-n+1)*(x^n)]/(n!)+...
（具體證明不列出了）
並把通項記爲tmpm，即tmpm(n)＝[m*(m-1)*..*(m-n+1)*(x^n)]/(n!)
由於-1<x<1，那麼用這個方法只能算出0～2的m次冪，不過如果1+x>=2,那麼可以把它轉爲求1/(1+x)的-m次冪即可。 綜上述，也就可以求出正數t的m次冪了（把t^m看爲(1+x)^m）。估計c++的pow可能也是用類似的方法實現的。
由公式，首先我們需要求x^n,即一個數的整數次冪，這個也不難：
double pow_i(double num,int n)//計算num的n次冪，其中n爲整數
{
double powint=1;
int i;
for(i=1;i<=n;i++) powint*=num;
return powint;
}
而後，我們還應該需要一個求n!的函數。
最後就可以寫出計算展開式的函數了：
double pow_f(double num,double m)//計算num的m次冪，num和m可爲雙精度，num大於零
{
int i,j;
double powf=0,x,tmpm=1;
x=num-1;
for(i=1;tmpm>1e-12 || tmpm<-1e-12;i++)//當tmpm不在次範圍時，停止循環,範圍可改
{
for(j=1,tmpm=1;j<=i;j++)
tmpm*=(m-j+1)*x/j;
powf+=tmpm;
}
return powf+1;
}
注意到，我在實現求每一個n對應的tmpm時，並沒有用到pow_i()，也沒有用到一個函數來求n!。而是直接寫成tmpm*=(m-j+1)*x/j，並通過循環此式來求n對應的tmpm。這是有原因的：
1.這樣寫更加簡潔。
2.如果用函數返回n!時，會出現循環只會進行171次的後果，因爲171!已超過double的範圍。這樣有可能造成因爲循環不足而導致結果精確度差，而且有可能運行時出錯。
到這裏，利用pow_f已能求出底數不大於2，指數爲實數的冪了。容易想到，對於底數t>=2的情況，可以把它轉爲求1/(1+x)的-m次冪即 可。理論上是如此，但實際上機卻顯示一個問題，就是當t比較小時（<1），而m比較大時，誤差十分大，這可能是因爲循環不足而造成的。也就是說，這 個pow_f不能求出t<1，m>1時比較精確的值，那樣的話對與t>2的情況也就求不出了，因爲作1/t的轉化後，又變成求底數小於 1的冪問題了。
怎樣解決呢，我們說，是因爲t較小而m較大時，才出問題，這樣的話，不妨把m分開爲整數和小數（分別記爲mi，mf），各自對t求冪，再把兩個結果相乘不 就行了嗎，這樣對t^mi,可以用pow_i()，對t^mf，可以用pow_f,此時mf<1,用pow_f求t^mf，結果很準確。這個問題解 決了，那麼對於t>=2的問題也就解決了。
最後，還有一個問題，就是t<0怎麼辦，在這裏，我的處理是，當t<0是，若指數m爲整數，則用pow_i求，而m不是整數，則返回0（c++的pow()好似是用錯誤處理的，不過我纔是個初學者，沒學到，所以就返回個0吧）。
綜上述，我們還需要有一個函數來作爲入口，在調用pow_i和pow_f前處理這些情況：
double pow_ff(double num,double m)//調用pow_f()和pow_i(),計算num的m次冪,是計算冪的入口
{
if(num==0 && m!=0) return 0;//若num爲0，則返回0
else if(num==0 && m==0) return 1;// 若num和m都爲0，則返回1
else if(num<0 && m-int(m)!=0) return 0;//若num爲負，且m不爲整數數，則出錯，返回0
if(num>2)//把底數大於2的情況轉爲(1/num)^-m計算
{
num=1/num;
m=-m;
}
if(m<0) return 1/pow_ff(num,-m);//把指數小於0的情況轉爲1/num^-m計算
if(m-int(m)==0) return pow_i(num,m);/*當指數爲浮點數是，分成整數和小數分別求
冪，這是因爲但底數較小式，用pow_f直接求冪
誤差大，所以分爲指數的整數部分用pow_i,小
數部分用pow_f求.*/
else return pow_f(num,m-int(m))*pow_i(num,int(m));
return pow_f(num,m);
}
這樣，這個pow_ff基本上就和c++的pow差不多了，至於系統的pow究竟是怎麼實現的，是否也是這樣做的，就不太清楚了。而這此的練習，使我感到數學與編程結合的美妙，^_^。