關於MATLAB實現的數字信號處理（四）

關於MATLAB實現以及C語言實現離散傅里葉變換（DFT）——傅里葉變換的學習與認識（下）

3.離散傅里葉變換（DFT）

離散傅里葉變換指的是傅里葉變換在時域和頻域上都呈離散的形式。在形式上，時域和頻域上的序列都是有限長的，而實際上這兩組序列都應當被認爲是離散週期信號的主值序列。對於有限長的離散信號作DFT，可以把它看作是離散週期信號的一個週期，應進行週期延拓之後再進行計算。

3.1 用C語言實現DFT

設有限長序列的長度爲N，對應的離散傅里葉變換定義爲：
$f(n)=\sum_{k=0}^{N-1} f(k) e^{-j\frac{2\pi}{N}nk}$
我們用C語言實現DFT計算，實際就是求f(n)的值，也就是求信號的幅值。

根據歐拉公式
$e^{j\theta}=cos\theta + jsin\theta$
在c語言中複數由實部和虛部組成，代入DFT的計算式可以得到：
$f(n)=\sum_{k=0}^{N-1} f(k)cos(\frac{2\pi}{N}nk)-jsin(\frac{2\pi}{N}nk)$
實現代碼

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>

#define PI 3.14159

struct data
{
	double real,imag;
};

int main()
{
	int N=32;                  //序列長度
double Squence[100];       //序列
double Amplitude[100];     //幅值

struct data one[32];       //單個數據
struct data sum;           //求和的結果

int n;        
int k;        //表示第k個數
	
//產生一個長度爲N的序列 第k個數的值爲k
for(k=0;k<N;k++)
{
	Squence[k]=k;
}

//進行DFT計算，並輸出結果
for(k=0;k<N;k++)
{
	//對sum賦初值
	sum.real=0;               
    sum.imag=0;

	//計算第k個點處的幅值
	for(n=0;n<N;n++)
	{
		one[n].real = cos(2*PI/N*k*n)*Squence[n];  //實部
		one[n].imag = -sin(2*PI/N*k*n)*Squence[n]; //虛部

		sum.real += one[n].real;                   //實部求和
		sum.imag += one[n].imag;                   //虛部求和
	}
	Amplitude[k] = sqrt(sum.real*sum.real+sum.imag*sum.imag);  //計算幅值 sqrt（a^2+b^2）
  
	printf("%d \t%f\n",k,Amplitude[k]); //輸出計算結果
}
return 0;
}

調用tcc與gnuplot編譯與做圖

在DFT.c的路徑下

tcc DFT.c  //將源文件編譯生成爲可執行文件DFT.exe

DFT.exe > DFT.txt //通過重定向的方法，將執行結果產生的數據重新放到一個新的文件中

gnuplot //調用畫圖工具

plot[0:32] [0:120]  "DFT.txt" u 1:2 w p //作出該信號的離散傅里葉變換的點狀圖

運行結果

3.2 MATLAB實現DFT

實現代碼

%計算長度爲32點的DFT
N=32;%信號的長度
x=[1:N];%定義存放信號的數組
a=zeros(1,N);b=zeros(1,N);%構造長度爲N的序列
for k=0:N-1
    for i=0:N-1
        a(k+1)=a(k+1)+x(i+1)*cos(2*pi*k*i/N);%DFT公式
        b(k+1)=b(k+1)+x(i+1)*sin(2*pi*k*i/N);
    end
c(k+1)=sqrt(a(k+1)^2+b(k+1)^2);%算出幅值
end

f=(0:1:N-1);
plot(f,c,'r'); %畫圖
axis([0 32 0 120]);
title('DFT');xlabel('k');ylabel('x(k)');

運行結果

3.3 結果對比

發現整體誤差較小