二叉查找樹（BST）

什麼是二叉查找樹

二叉查找樹（Binary Search Tree）又叫二叉排序樹（Binary Sort Tree），它是一種數據結構，支持多種動態集合操作，如 Search、Insert、Delete、Minimum 和 Maximum 等。

二叉查找樹要麼是一棵空樹，要麼是一棵具有如下性質的非空二叉樹：

若左子樹非空，則左子樹上的所有結點的關鍵字值均小於根結點的關鍵字值。

若右子樹非空，則右子樹上的所有結點的關鍵字值均大於根結點的關鍵字值。

左、右子樹本身也分別是一棵二叉查找樹（二叉排序樹）。

可以看出，二叉查找樹是一個遞歸的數據結構，且對二叉查找樹進行中序遍歷，可以得到一個遞增的有序序列。

二叉查找樹的C++模板實現文件(BSTree.h)

這裏因爲是模板類，所以二叉查找樹的類的相關實現放在頭文件中。

下面是一些二叉查找樹的相關方法實現。

/**
 * C++ 語言: 二叉查找樹
 */

#ifndef _BINARY_SEARCH_TREE_HPP_
#define _BINARY_SEARCH_TREE_HPP_

#include <iomanip>
#include <iostream>
using namespace std;

template <class T>
class BSTNode{
    public:
        T key;            // 關鍵字(鍵值)
        BSTNode *left;    // 左孩子
        BSTNode *right;    // 右孩子
        BSTNode *parent;// 父結點

        BSTNode(T value, BSTNode *p, BSTNode *l, BSTNode *r):
        key(value),parent(p),left(l),right(r) {}
};

template <class T>
class BSTree {
    private:
        BSTNode<T> *mRoot;    // 根結點

    public:
        BSTree();
        ~BSTree();

        // 前序遍歷"二叉樹"
        void preOrder();
        // 中序遍歷"二叉樹"
        void inOrder();
        // 後序遍歷"二叉樹"
        void postOrder();
        // 層序遍歷"二叉樹"
        void BFS_Tree();

    // 深度
    int deep();

        // (遞歸實現)查找"二叉樹"中鍵值爲key的節點
        BSTNode<T>* search(T key);
        // (非遞歸實現)查找"二叉樹"中鍵值爲key的節點
        BSTNode<T>* iterativeSearch(T key);

        // 查找最小結點：返回最小結點的鍵值。
        T minimum();
        // 查找最大結點：返回最大結點的鍵值。
        T maximum();

        // 找結點(x)的後繼結點。即，查找"二叉樹中數據值大於該結點"的"最小結點"。
        BSTNode<T>* successor(BSTNode<T> *x);
        // 找結點(x)的前驅結點。即，查找"二叉樹中數據值小於該結點"的"最大結點"。
        BSTNode<T>* predecessor(BSTNode<T> *x);

        // 將結點(key爲節點鍵值)插入到二叉樹中
        void insert(T key);

        // 刪除結點(key爲節點鍵值)
        void remove(T key);

        // 銷燬二叉樹
        void destroy();

        // 打印二叉樹
        void print();
    private:
        // 前序遍歷"二叉樹"
        void preOrder(BSTNode<T>* tree) const;
        // 中序遍歷"二叉樹"
        void inOrder(BSTNode<T>* tree) const;
        // 後序遍歷"二叉樹"
        void postOrder(BSTNode<T>* tree) const;
        // 層序遍歷"二叉樹"
        void BFS_Tree(BSTNode<T>* tree) const;

    //深度
    int deep(BSTNode<T>* tree);

        // (遞歸實現)查找"二叉樹x"中鍵值爲key的節點
        BSTNode<T>* search(BSTNode<T>* x, T key) const;
        // (非遞歸實現)查找"二叉樹x"中鍵值爲key的節點
        BSTNode<T>* iterativeSearch(BSTNode<T>* x, T key) const;

        // 查找最小結點：返回tree爲根結點的二叉樹的最小結點。
        BSTNode<T>* minimum(BSTNode<T>* tree);
        // 查找最大結點：返回tree爲根結點的二叉樹的最大結點。
        BSTNode<T>* maximum(BSTNode<T>* tree);

        // 將結點(z)插入到二叉樹(tree)中
        void insert(BSTNode<T>* &tree, BSTNode<T>* z);

        // 刪除二叉樹(tree)中的結點(z)，並返回被刪除的結點
        BSTNode<T>* remove(BSTNode<T>* &tree, BSTNode<T> *z);

        // 銷燬二叉樹
        void destroy(BSTNode<T>* &tree);

        // 打印二叉樹
        void print(BSTNode<T>* tree, T key, int direction);
};

/* 
 * 構造函數
 */
template <class T>
BSTree<T>::BSTree():mRoot(NULL)
{
}

/* 
 * 析構函數
 */
template <class T>
BSTree<T>::~BSTree() 
{
    destroy();
}

/*
 * 前序遍歷"二叉樹"
 */
template <class T>
void BSTree<T>::preOrder(BSTNode<T>* tree) const
{
    if(tree != NULL)
    {
        cout<< tree->key << " " ;
        preOrder(tree->left);
        preOrder(tree->right);
    }
}

template <class T>
void BSTree<T>::preOrder() 
{
    preOrder(mRoot);
}

/*
 * 中序遍歷"二叉樹"
 */
template <class T>
void BSTree<T>::inOrder(BSTNode<T>* tree) const
{
    if(tree != NULL)
    {
        inOrder(tree->left);
        cout<< tree->key << " " ;
        inOrder(tree->right);
    }
}

template <class T>
void BSTree<T>::inOrder() 
{
    inOrder(mRoot);
}

/*
 * 後序遍歷"二叉樹"
 */
template <class T>
void BSTree<T>::postOrder(BSTNode<T>* tree) const
{
    if(tree != NULL)
    {
        postOrder(tree->left);
        postOrder(tree->right);
        cout<< tree->key << " " ;
    }
}

template <class T>
void BSTree<T>::postOrder() 
{
    postOrder(mRoot);
}

//層次遍歷
template <class T>
void BSTree<T>::BFS_Tree(BSTree * root) const
{
    if(root == NULL)
        return;

    //藉助雙端隊列存儲遍歷的結點
    deque<T> d;
    d.push_back(root);

    while(d.size())
    {
        BSTree temp = d.front();
        cout << d.front()->data;
        d.pop_front();
        if(temp->Lchild)
            d.push_back(temp->Lchild);
        if(temp->Rchild)
            d.push_back(temp->Rchild);
    }
}

template <class T>
void BSTree<T>::BFS_Tree() 
{
    BFS_Tree(mRoot);
}

/*
 * "二叉樹"深度
 */
template <class T>
int BSTree<T>::deep(BSTNode<T>* root) const
{
      if(root == null)  
      {  
          return 0;  
      }  
      else  
      {  
       int lchilddeep = deep(root->left);//求左子樹的深度  
       int rchilddeep = deep(root->left);//求右子樹的深度  
       return lchilddeep > rchilddeep ? lchilddeep + 1 : rchilddeep + 1;//左子樹和右子樹深度較大的那個加一等於整個樹的深度  
      }  
}

template <class T>
int BSTree<T>::deep() 
{
    deep(mRoot);
}

/*
 * (遞歸實現)查找"二叉樹x"中鍵值爲key的節點
 */
template <class T>
BSTNode<T>* BSTree<T>::search(BSTNode<T>* x, T key) const
{
    if (x==NULL || x->key==key)
        return x;

    if (key < x->key)
        return search(x->left, key);
    else
        return search(x->right, key);
}

template <class T>
BSTNode<T>* BSTree<T>::search(T key) 
{
    search(mRoot, key);
}

/*
 * (非遞歸實現)查找"二叉樹x"中鍵值爲key的節點
 */
template <class T>
BSTNode<T>* BSTree<T>::iterativeSearch(BSTNode<T>* x, T key) const
{
    while ((x!=NULL) && (x->key!=key))
    {
        if (key < x->key)
            x = x->left;
        else
            x = x->right;
    }

    return x;
}

template <class T>
BSTNode<T>* BSTree<T>::iterativeSearch(T key)
{
    iterativeSearch(mRoot, key);
}

/* 
 * 查找最小結點：返回tree爲根結點的二叉樹的最小結點。
 */
template <class T>
BSTNode<T>* BSTree<T>::minimum(BSTNode<T>* tree)
{
    if (tree == NULL)
        return NULL;

    while(tree->left != NULL)
        tree = tree->left;
    return tree;
}

template <class T>
T BSTree<T>::minimum()
{
    BSTNode<T> *p = minimum(mRoot);
    if (p != NULL)
        return p->key;

    return (T)NULL;
}

/* 
 * 查找最大結點：返回tree爲根結點的二叉樹的最大結點。
 */
template <class T>
BSTNode<T>* BSTree<T>::maximum(BSTNode<T>* tree)
{
    if (tree == NULL)
        return NULL;

    while(tree->right != NULL)
        tree = tree->right;
    return tree;
}

template <class T>
T BSTree<T>::maximum()
{
    BSTNode<T> *p = maximum(mRoot);
    if (p != NULL)
        return p->key;

    return (T)NULL;
}

/* 
 * 找結點(x)的後繼結點。即，查找"二叉樹中數據值大於該結點"的"最小結點"。
 */
template <class T>
BSTNode<T>* BSTree<T>::successor(BSTNode<T> *x)
{
    // 如果x存在右孩子，則"x的後繼結點"爲 "以其右孩子爲根的子樹的最小結點"。
    if (x->right != NULL)
        return minimum(x->right);

    // 如果x沒有右孩子。則x有以下兩種可能：
    // (01) x是"一個左孩子"，則"x的後繼結點"爲 "它的父結點"。
    // (02) x是"一個右孩子"，則查找"x的最低的父結點，並且該父結點要具有左孩子"，找到的這個"最低的父結點"就是"x的後繼結點"。
    BSTNode<T>* y = x->parent;
    while ((y!=NULL) && (x==y->right))
    {
        x = y;
        y = y->parent;
    }

    return y;
}

/* 
 * 找結點(x)的前驅結點。即，查找"二叉樹中數據值小於該結點"的"最大結點"。
 */
template <class T>
BSTNode<T>* BSTree<T>::predecessor(BSTNode<T> *x)
{
    // 如果x存在左孩子，則"x的前驅結點"爲 "以其左孩子爲根的子樹的最大結點"。
    if (x->left != NULL)
        return maximum(x->left);

    // 如果x沒有左孩子。則x有以下兩種可能：
    // (01) x是"一個右孩子"，則"x的前驅結點"爲 "它的父結點"。
    // (01) x是"一個左孩子"，則查找"x的最低的父結點，並且該父結點要具有右孩子"，找到的這個"最低的父結點"就是"x的前驅結點"。
    BSTNode<T>* y = x->parent;
    while ((y!=NULL) && (x==y->left))
    {
        x = y;
        y = y->parent;
    }

    return y;
}

/* 
 * 將結點插入到二叉樹中
 *
 * 參數說明：
 *     tree 二叉樹的根結點
 *     z 插入的結點
 */
template <class T>
void BSTree<T>::insert(BSTNode<T>* &tree, BSTNode<T>* z)
{
    BSTNode<T> *y = NULL;
    BSTNode<T> *x = tree;

    // 查找z的插入位置
    while (x != NULL)
    {
        y = x;
        if (z->key < x->key)
            x = x->left;
        else
            x = x->right;
    }

    z->parent = y;
    if (y==NULL)
        tree = z;
    else if (z->key < y->key)
        y->left = z;
    else
        y->right = z;
}

/* 
 * 將結點(key爲節點鍵值)插入到二叉樹中
 *
 * 參數說明：
 *     tree 二叉樹的根結點
 *     key 插入結點的鍵值
 */
template <class T>
void BSTree<T>::insert(T key)
{
    BSTNode<T> *z=NULL;

    // 如果新建結點失敗，則返回。
    if ((z=new BSTNode<T>(key,NULL,NULL,NULL)) == NULL)
        return ;

    insert(mRoot, z);
}

/* 
 * 刪除結點(z)，並返回被刪除的結點
 *
 * 參數說明：
 *     tree 二叉樹的根結點
 *     z 刪除的結點
 */
template <class T>
BSTNode<T>* BSTree<T>::remove(BSTNode<T>* &tree, BSTNode<T> *z)
{
    BSTNode<T> *x=NULL;
    BSTNode<T> *y=NULL;

    if ((z->left == NULL) || (z->right == NULL) )
        y = z;
    else
        y = successor(z);

    if (y->left != NULL)
        x = y->left;
    else
        x = y->right;

    if (x != NULL)
        x->parent = y->parent;

    if (y->parent == NULL)
        tree = x;
    else if (y == y->parent->left)
        y->parent->left = x;
    else
        y->parent->right = x;

    if (y != z) 
        z->key = y->key;

    return y;
}

/* 
 * 刪除結點(z)，並返回被刪除的結點
 *
 * 參數說明：
 *     tree 二叉樹的根結點
 *     z 刪除的結點
 */
template <class T>
void BSTree<T>::remove(T key)
{
    BSTNode<T> *z, *node; 

    if ((z = search(mRoot, key)) != NULL)
        if ( (node = remove(mRoot, z)) != NULL)
            delete node;
}

/*
 * 銷燬二叉樹
 */
template <class T>
void BSTree<T>::destroy(BSTNode<T>* &tree)
{
    if (tree==NULL)
        return ;

    if (tree->left != NULL)
        return destroy(tree->left);
    if (tree->right != NULL)
        return destroy(tree->right);

    delete tree;
    tree=NULL;
}

template <class T>
void BSTree<T>::destroy()
{
    destroy(mRoot);
}

/*
 * 打印"二叉查找樹"
 *
 * key        -- 節點的鍵值 
 * direction  --  0，表示該節點是根節點;
 *               -1，表示該節點是它的父結點的左孩子;
 *                1，表示該節點是它的父結點的右孩子。
 */
template <class T>
void BSTree<T>::print(BSTNode<T>* tree, T key, int direction)
{
    if(tree != NULL)
    {
        if(direction==0)    // tree是根節點
            cout << setw(2) << tree->key << " is root" << endl;
        else                // tree是分支節點
            cout << setw(2) << tree->key << " is " << setw(2) << key << "'s "  << setw(12) << (direction==1?"right child" : "left child") << endl;

        print(tree->left, tree->key, -1);
        print(tree->right,tree->key,  1);
    }
}

template <class T>
void BSTree<T>::print()
{
    if (mRoot != NULL)
        print(mRoot, mRoot->key, 0);
}

#endif

判斷一棵二叉樹是否爲BSTree

限定了子樹中節點值的範圍，從而每個節點只需訪問一次。節點值的初始範圍可限定爲INT_MIN以及INT_MAX。

//判斷是否爲BST
bool isBST(Node* node)
{
    return(isBSTUtil(node, INT_MIN, INT_MAX));
}
//如果是一顆二叉查找樹，且值範圍在[min,max]，則返回true
bool isBSTUtil(Node * node , int min , int max )  
{  
        //空樹也是BST  
        if ( node == NULL)  
               return true;  

        //如果節點值違反了最大/最小約束條件，則不是BST  
        if ( node->key < min || node->key > max)  
               return false;  

        //遞歸檢查子樹  
        return  isBSTUtil( node->left, min, node->key) &&  
              isBSTUtil( node->right, node->key, max);  
}  

方法二：

1) 對樹進行中序遍歷，將結果保存在temp數組中。
3) 檢測temp數組中元素是否爲升序排列。如果是，則這棵樹爲BST.
時間複雜度: O(n)
該方法還可以進一步的優化，我們可以避免使用這個額外的數組。在中序遍歷時，可以保存前驅節點，如果當前節點小於前驅節點，則這棵樹不是BST.

//判斷是否爲BST  
bool isBST(Node* root)  
{  
    static Node *prev = NULL;  

    // 中序遍歷這棵樹，並保存前驅節點至prev中  
    if (root)  
    {  
    if (!isBST(root->left))  
    return false;  

    // 檢測節點值的合法性  
    if (prev != NULL && root->key <= prev->key)  
        return false;  

    prev = root;  

    //右子樹  
        return isBST(root->right);  
    }  

    return true;  
}