BZOJ 1109 [POI2007]堆積木Klo DP

題意:

給定一個序列A，刪除任意個數的數，使得生成的新序列B={a,b,c,d….}與序列C={1,2,3,4…..}一一對應的數的個數最多，求最多能對應多少個數。

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解析:

不妨列一下樸素的DP方程

f[i]=max(f[j]+1)(j<i且a[j]<a[i]且a[i]−a[j]<=i−j)

複雜度O(n^2)，顯然不可過，所以需要進一步優化。
觀察三個限定條件。
1、j<i
2、a[j]<a[i]
3、a[i]−a[j]<=i−j即j−a[j]<=i−a[i]
容易發現已知2,3 可以推出1 。
而1 代表的是這n 個數的排列順序。
而2 的條件即爲最長上升子序列。
所以我們不妨把3 看做這n 個數的重新排列法則，之後滿足2 的條件即可。
所以我們只需要按照j−a[j]<=i−a[i] 把n 個數重新排列，接着求一個最長上升子序列長度即可。
需要注意的是，如果i−a[i]<0 的話，那麼顯然這個數不可能與C序列中的某個數對應上，直接跳過即可。

代碼:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define N 100100
#define M 1000100
using namespace std;
struct node
{
    int x,y;
    friend bool operator < (node a,node b)
    {
        if(a.x==b.x)return a.y<b.y;
        return a.x<b.x;
    }
}b[N];
int d[M],a[N];
int n,ma,tot;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        if(i-a[i]<0)continue;
        b[++tot].x=i-a[i],b[tot].y=a[i];
    }
    sort(b+1,b+tot+1);
    memset(d,0x3f,sizeof(d)); 
    for(int i=1;i<=tot;i++)
    {
        int l=1,r=ma,ans=0;
        while(l<=r)
        {
            int mid=(l+r)>>1;
            if(b[i].y>d[mid])ans=mid,l=mid+1;
            else r=mid-1;
        }
        ma=max(ma,ans+1);
        d[ans+1]=min(d[ans+1],b[i].y);
    }
    printf("%d\n",ma);
}