92. 揹包問題

寫在前面，如果有更好的方法可以給博主分享一下麼，木有vip，看不到lintcode的題解，謝謝啦

題目描述

https://www.lintcode.com/problem/backpack/description

在n個物品中挑選若干物品裝入揹包，最多能裝多滿？假設揹包的大小爲m，每個物品的大小爲A[i]

樣例

輸入：[3, 4, 8, 5],  backpack size = 10

輸出：9

挑戰

O(n x m) time and O(m) memory.

題解

方法一：遞歸

暴力求解所有可能性，自頂向下

_helper(self, w, index, c)函數，表示考慮求解將[0,index]的物品放入容量爲c的揹包中，能得出的最大容量，遞歸函數，其中index，表示考慮將[0, index]的物品放入容量爲c的揹包，c-表示剩餘容量，故是最終結果，其表示將所有物品考慮放入容量爲m的揹包中的最大值。

class Solution:
    """
    @param m: An integer m denotes the size of a backpack
    @param A: Given n items with size A[i]
    @return: The maximum size
    """
    def backPack(self, m, A):
        if not A or m <= 0:
            return 0
        return self._helper(A, len(A) - 1, m)

    def _helper(self, w, index, c):
        if index < 0 or c < 0:
            return 0
        res = 0
        for i in range(0, index + 1):
            res = max(res, self._helper(w, i - 1, c))
            if c - w[i] >= 0:
                res = max(res, self._helper(w, i - 1, c - w[i]) + w[i])
        return res

方法二：記憶化搜索

水到渠成的記憶化搜索

class Solution:
    def __init__(self):
        self.memo = []

    def backPack(self, m, A):
        if not A or m <= 0:
            return 0
        self.memo = [[-1] * (m + 1) for _ in range(len(A))]
        return self._helper(A, len(A) - 1, m)

    def _helper(self, w, index, c):
        if index < 0 or c > m:
            return 0
        if self.memo[index][c] != -1:
            return self.memo[index][c]
        res = 0
        for i in range(0, index + 1):
            res = max(res, self._helper(w, i - 1, c))
            if c - w[i] >= 0:
                res = max(res, self._helper(w, i - 1, c - w[i]) + w[i])
        self.memo[index][c] = res
        return res

方法三：動態規劃

時間和空間複雜度均爲，n-表示物品數，m-表示容量

class Solution:
    def backPack(self, m, A):
        if not A or m <= 0:
            return 0
        dp = [[0] * (m + 1) for _ in range(len(A))]

        for j in range(m + 1):
            if j >= A[0]:
                dp[0][j] = A[0]

        for i in range(1, len(A)):
            for j in range(m + 1):
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
                if j - A[i] >= 0:
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - A[i]] + A[i])
        return dp[-1][-1]

空間的優化，時間複雜度，空間複雜度

因爲上面的dp[i][j]，只用到了，dp[i-1][j]及其左側元素，不涉及右側元素，故可以只用的空間複雜度，從右側開始更新，且還可以提前終止。

class Solution:
    def backPack(self, m, A):
        if not A or m <= 0:
            return 0
        dp = [0] * (m + 1)

        for i in range(0, len(A)):
            j = m
            while j >= A[i]:
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - A[i]] + A[i])
                j -= 1

        return dp[-1]