數學及其歷史讀書摘要(201305)

chap7解析幾何
7.3代數曲線
在這段話中,笛卡爾定義了我們現在所謂的代數曲線。
笛卡爾拒絕超越方程是短視之舉,因微積分很快就提供了研究它們的級數;但無論如何,集中關注代數曲線是有益的。特別地,次數的概念有利於反應曲線的複雜性。一次曲線可能是最簡單的,即直線;二次曲線次簡單,它們是圓錐曲線。在三次曲線的情形,我們看到了新的現象:拐折、二重點和尖點。衆所周知,拐點和尖點分別出現在y=x^3和y^2=x^3中;我們在蔓葉線上也看到了尖點(2.5節)。有二重點的三次曲線的經典例子是笛卡爾的葉形線(folium,1638):x^3+y^3=3axy。“葉”是二重點右邊的閉合部分;笛卡爾忽略負座標,因而並不瞭解曲線的其餘部分。葉形線的真實形狀首先由惠更斯給出(1692)。圖7.1是惠更斯畫的,畫中還顯示了該曲線的漸近線。

chap11數論的復興
11.2費馬小定理
真正由費馬證明的最著名的定理就是衆所周知的他的“小”定理——之所以如此稱呼這個定理,是爲了把它和費馬“最後”定理,或費馬“大”定理(見下節)區分開來。費馬小定理敘述如下:
如p是素數,n與p互素,則n^(p-1)≡1(mod p)。
爲避免使用費馬時代尚不知道的“同餘mod p”這種語言,這個結論可等價表述爲n^(p-1)-1被p整除或n^p-n被p整除。後者成立是因爲n^p-n=n(n^(p-1)-1),那麼,由於p是素數,又不能整除n,所以僅當p能整除n^(p-1)-1時纔有p整除n^p-n。
費馬小定理現在已成爲應用數學的某些領域,諸如密碼學中不可或缺的東西。發人深思的是,這個定理起源於數學中最少應用性的問題,即構造完全數問題。正如我們在3.2節見到的,它依賴於形如2^m-1的素數的構造。這是最初使費馬對2^m-1是否有因子的條件感興趣的緣由。在同一時期(17世紀30年代中期),他研究了二項式係數。這兩種興趣的綜合很可能導致他發現了n=2時的小定理。
至此,我們還只證明了n=2時的費馬小定理。韋伊(1984)據此提出了證明一般的費馬小定理的兩種途徑。一種是重複使用二項式定理,這是屬於歐拉的第一個發表的費馬定理的證明(1736);另一種是直接應用多項式定理,這實際上是人們最早知道的證明方法,它見於17世紀60年代晚期萊布尼茨未發表的一篇文章中[參見韋伊(1984),56頁]。

11.5虧格爲0的三次曲線上的有理點
例如,在1.3節中,在圓x^2+y^2=1上的作圖給出了它的參數化
x=(1-t^2)/(1+t^2),y=2t/(1+t^2)(圖11.2)。
虧格爲0的曲線可以定義爲容許用有理函數實現參數化的曲線。我現在要證明:一些三次曲線的虧格也爲0,辦法是應用與笛卡爾的葉形線很相似的作圖。
葉形線在7.3節定義爲其方程是x^3+y^3=3axy----(1)的曲線。原點O是葉形線上明顯的有理點;從圖11.3可進一步清楚地看出O是該曲線的二重點。
圖11.3葉形線的參數化
x=3at/(1+t^3),及y=3at^2/(1+t^3)。
類似的作圖可用於任一個有二重點的三次曲線上,或者更一般地用到有n重點的n+1次曲線上,因此所有這些曲線的虧格皆爲0。
11.6虧格爲1的三次曲線上的有理點
我們還不能給出虧格1的精確定義,但虧格爲1的情況太多了,所有虧格不爲0的三次曲線都具有虧格1。從11.5節我們知道虧格爲1的三次曲線不能有二重點,實際上它也不能有尖點,因爲這兩種情況都會導出有理參數化(尖點的一種情形,見習題7.4.1)。我們要講的是可以將虧格爲1的三次曲線參數化的函數。這樣的函數就是橢圓函數——它們到19世紀才被定義,克萊佈施(A.Clebsch)(1864)首次將它們應用於三次曲線的參數化。

chap15複數和復曲線
15.1根與交點
代數曲線的交點和多項式的根有密切聯繫;對這種聯繫的研究,可遠溯至梅克繆斯通過拋物線與雙曲線之交來完成2^(1/3)(即x^3=2的一個根)的作圖(2.4節)。
y=x^2和y=0的交點(圖15.1)可以被認爲是兩個重合的點。----2重根與2重交點
貝祖定理是這方面的一個最優美的成果:m次曲線C_m與n次曲線C_n相交於mn個點。
15.2復射影直線
自從人們在複分析研究中也想通過這種方法爲C加上點∞從而使C完備化以來,從C過渡到CP^1的做法在幾何與分析研究中都用上了。高斯似乎是看到關於C的C∪∞的優越性的第一人,因此在分析中常常稱CP^1爲高斯球面。[不幸的是,高斯關於這個題目的工作僅存若干未出版、也未標明日期的殘篇;參見高斯(1819)。]代數幾何學家稱CP^1爲(復)射影直線,因爲它形式上等價於實直線,儘管它從拓撲觀點看是個曲面。類似地,復曲線在拓撲上是一個曲面,即分析學家熟知的黎曼面,雖然代數幾何學家喜歡稱它爲“曲線”。
15.3分支點
理解復曲線p(x,y)=0的拓撲形式的關鍵在於它的分支點α,牛頓-皮瑟關於y的在分支點的展開式就是從(x-α)的分數次冪開始的(參見10.5節)。分支點的性質首先爲黎曼(1851)所描述,成爲複函數革命性的新幾何理論的一部分。
15.5人物小傳:黎曼
狄利克雷的特長是在純數學中、特別是在數論中使用分析方法;黎曼在廣義上也被分類在分析學家之列。然而,他並不是今天那樣的分析學專家。他的研究領域囊括了從分析觀點出發所能看到的全部數學。他關注可以使用分析來闡釋的所有數學,從數論到幾何無所不包;同時,他也關注分析本身需要從外部加以闡釋的地方。黎曼面的概念,特別是虧格這一拓撲概念,使得許多原來很難被發現的分析方面的結果幾乎立刻變得一目瞭然。黎曼對橢圓函數雙週期性的說明,就是利用拓撲來闡釋分析理論的生動例證,我們將在第16.4節一睹爲快。
----講19世紀的數學史,不講橢圓函數這一19世紀的中心課題,就只能講個皮毛。本書作者就列了專章講橢圓函數,這是當初本人非常感興趣的地方。
人們說,阿貝爾留下的遺產足夠數學家忙碌500年,黎曼的情形也可以這麼說。至今,黎曼已去世130年[147年],純數學中的一個重大的未決問題就是所謂的黎曼假設——黎曼在他的一篇有關素數分佈的文章(1859)中提出的猜想。

chap19羣論
19.1羣的概念
這些公理是從研究特殊的羣開始經過一個多世紀的發展才成型的,其間它們的基本面貌逐漸地浮現了出來。
也許最早使用逆元的非平凡例子出現在“模p乘法”的運算中——歐拉(1758)(他之前可能還有費馬)用它給出了費馬小定理的、本質上屬於羣論的證明。歐拉在他的證明中並未定義一個羣,但對我們來說要做到這一點很容易(重述歐拉的證明見習題)。該羣的元素是mod p的非零剩餘類:
1modp={…,-p+1,1,p+1,2p+1,…},
2modp={…,-p+2,2,p+2,2p+2,…},
3modp={…,-p+3,3,p+3,2p+3,…},
……
(p-1)modp={…,-1,p-1,2p-1,3p-1,…},
此時的乘法定義爲
(amodp)(bmodp)=(ab)modp。
前面的例子說明了幾何與數論對羣概念的影響。更具決定性的影響來自方程論,下節我們會簡要地談到它。
19.2置換與方程論
我們從11.1節知道,早在1321年萊維·本·熱爾鬆就發現了n件東西有n!種置換方式。這些置換都是可逆函數,它們構成一個羣S_n[n次對稱羣],其中乘法是合成。然而,它們在合成下的性態在18世紀以前從未被考慮過。直到範德蒙德(1771)和拉格朗日(1771)將置換的思想應用到多項式方程的根上,才首次發現了置換的羣論性質。同時,範德蒙德和拉格朗日還發現,這是理解方程有無根式解的關鍵。
19.3置換羣
伽羅瓦理解的“羣”就是有限集合的置換羣。
從歷史上看,幾何是無限羣最重要的來源,我們將在19.5節中闡述它。
19.4多面體羣

十二面體和二十面體之間的對偶關係表明了它們具有相同的對稱羣,原來這個羣就是A_5[5次交錯羣],即S_5中偶置換的子羣。
19.5羣和幾何
19.6組合羣論

發表評論
所有評論
還沒有人評論,想成為第一個評論的人麼? 請在上方評論欄輸入並且點擊發布.
相關文章