使用Eigen求解線性方程組
一. 矩陣分解：
矩陣分解 (decomposition, factorization)是將矩陣拆解爲數個矩陣的乘積，可分爲三角分解、滿秩分解、QR分解、Jordan分解和SVD（奇異值）分解等，常見的有三種：1)三角分解法 (Triangular Factorization)，2)QR 分解法 (QR Factorization)，3)奇異值分解法 (Singular Value Decompostion)。
1. LU三角分解：
三角分解法是將原正方 (square) 矩陣分解成一個上三角形矩陣 或是排列(permuted) 的上三角形矩陣和一個 下三角形矩陣，這樣的分解法又稱爲LU分解法。它的用途主要在簡化一個大矩陣的行列式值的計算過程，求 反矩陣，和求解聯立方程組。不過要注意這種分解法所得到的上下三角形矩陣並非唯一，還可找到數個不同 的一對上下三角形矩陣，此兩三角形矩陣相乘也會得到原矩陣。
MATLAB以lu函數來執行lu分解法， 其語法爲[L,U]=lu(A)。
2. QR分解：
QR分解法是將矩陣分解成一個正規正交矩陣與上三角形矩陣,所以稱爲QR分解法,與此正規正交矩陣的通用符號Q有關。
MATLAB以qr函數來執行QR分解法， 其語法爲[Q,R]=qr(A)。
3. 奇異值分解：
奇異值分解 (singular value decomposition,SVD) 是另一種正交矩陣分解法；SVD是最可靠的分解法，但是它比QR 分解法要花上近十倍的計算時間。[U,S,V]=svd(A)，其中U和V分別代表兩個正交矩陣，而S代表一對角矩陣。 和QR分解法相同， 原矩陣A不必爲正方矩陣。使用SVD分解法的用途是解最小平方誤差法和數據壓縮。
MATLAB以svd函數來執行svd分解法， 其語法爲[S,V,D]=svd(A)。
4. LLT分解：
A=LL^T
Cholesky 分解是把一個對稱正定的矩陣表示成一個下三角矩陣L和其轉置的乘積的分解。它要求矩陣的所有特徵值必須大於零，故分解的下三角的對角元也是大於零的（LU三角分解法的變形）。
5. LDLT分解法：
若A爲一對稱矩陣且其任意一k階主子陣均不爲零，則A有如下惟一的分解形式：
A=LDL^T
其中L爲一下三角形單位矩陣（即主對角線元素皆爲1），D爲一對角矩陣（只在主對角線上有元素，其餘皆爲零），L^T爲L的轉置矩陣。
LDLT分解法實際上是Cholesky分解法的改進，因爲Cholesky分解法雖然不需要選主元，但其運算過程中涉及到開方問題，而LDLT分解法則避免了這一問題，可用於求解線性方程組。
<span style="font-size:18px;">#include <iostream>
2 #include <Eigen/Dense>
3
4 using namespace std;
5 using namespace Eigen;
6
7 int main()
8 {
9 //線性方程求解 Ax =B;
10 Matrix4d A;
11 A << 2,-1,-1,1,
12 1,1,-2,1,
13 4,-6,2,-2,
14 3,6,-9,7;
15 Vector4d B(2,4,4,9);
16 Vector4d x = A.colPivHouseholderQr().solve(B);
17 Vector4d x2 = A.llt().solve(B);
18 Vector4d x3 = A.ldlt().solve(B);
19 std::cout << "The solution is:\n" << x <<"\n\n"<<x2<<"\n\n"<<x3 <<std::endl;
20 }</span>
除了colPivHouseholderQr、LLT、LDLT，還有以下的函數可以求解線性方程組，請注意精度和速度：解小矩陣（4*4）基本沒有速度差別
1 // Solve Ax = b. Result stored in x. Matlab: x = A \ b.
2 x = A.ldlt().solve(b)); // A sym. p.s.d. #include <Eigen/Cholesky>
3 x = A.llt().solve(b)); // A sym. p.d. #include <Eigen/Cholesky>
4 x = A.lu().solve(b)); // Stable and fast. #include <Eigen/LU>
5 x = A.qr().solve(b)); // No pivoting. #include <Eigen/QR>
6 x = A.svd().solve(b)); // Stable, slowest. #include <Eigen/SVD>
7 // .ldlt() -> .matrixL() and .matrixD()
8 // .llt() -> .matrixL()
9 // .lu() -> .matrixL() and .matrixU()
10 // .qr() -> .matrixQ() and .matrixR()
11 // .svd() -> .matrixU(), .singularValues(), and .matrixV()
文章來源：
https://www.cnblogs.com/feifanrensheng/articles/8510702.html