繼電反饋自整定算法

導讀

PID算法是工業上一種常用的控制算法，因其容易理解、實現簡單、魯棒性強等特性而得到廣泛應用，除此之外，許多智能算法都需要以PID爲基礎才能真正應用到實際生產中。PID算法應用中最爲重要的是參數的整定。通常，參數的整定高度依賴工程技術人員的經驗，而且實際系統又是千差萬別，存在着諸如非線性、時變、大滯後等因素。因此傳統的經驗整定方法既耗時又費力，整定得到的效果還不一定理想。近幾年來，控制器的功能越來越強大，這些控制器大多帶有PID參數自整定功能，如日本島、國內的昌暉儀表、廈門宇電、福建虹潤等都有這類自整定調節器。通過觀察調節器的自整定過程，可以確認這類調節器採用的都是PID參數繼電自整定法。爲了進一步用好這種儀表，本文討論控制器的PID自整定的原理和方法。

繼電反饋自整定算法

1984年，Astrom等人提出了繼電反饋算法：如果一個帶有繼電環節的系統最終達到穩定並且產生極限環振盪，那麼可以利用振盪曲線的信息估計出被控過程的頻率信息。

調節器的PID自整定過程

若測出了系統的一階模型，或得出了系統的臨界比例增益$K_c$和振盪週期$T_c$，則可很容易地設計出PID調節器。繼電型自整定的基本想法是，在控制系統中設置兩種模態：測試模態和調節模態。在測試模態下，調節器自動轉換成位式調節，即當測量值小於設定值時，調節器輸出爲滿量程，反之爲零，使系統產生振盪，振盪過程中調節器自動提取被控對象的特徵參數；而在調節模態下由系統的特徵參數首先得出PID控制器，然後，由此控制器對系統進行調節。繼電型PID自主控制結構如圖1所示。當需要PID參數整定時，開關置於調整處，系統按繼電反饋建立起穩定的極限環振盪後，就可以根據繫系統響應特徵確定PID參數。自整定計算完成後開關置於調節處，系統進入正常控制。

PID自整定的原理

測試模態下，系統的等效框圖如圖2所示。確定系統的振盪頻率$\omega_c$與臨界增益$K_c$有多種方法，比較常用的是描述函數法，此方法實際上是根據非線性環節輸入信號與輸出信號之間基波分量關係來進行近似的一種有效方法。（建議先複習一下描述函數）

非線性環節的的描述函數$N(A)$是指：當輸入是正弦信號$Asin(\omega t)$時，輸出信號的基波分量$Ysin(\omega t + \varphi)$對輸入正弦量的複數比，即
$N(A)=\frac{Y}{A \angle \varphi}= \frac{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}}{A\angle \varphi}$
其中的$A_1$和$B_1$是輸出信號的傅里葉級數的第一項的係數。

實際的帶有迴環的繼電非線性環節的描述函數可以表示爲
$N(A)=\frac{4d}{\pi A^2}(\sqrt{A^2-\varepsilon^2}-j\varepsilon)$
公式中$A$爲正弦波幅值，$d$爲迴環幅值，$\varepsilon$爲迴環寬度的一半。這裏考慮更簡單的情況，假設繼電環節爲理想繼電環節，即$\varepsilon=0$，則可得到下式
$N(A)=\frac{4d}{\pi A}$
設被控對象的傳遞函數如下所示
$G(s)=\frac{Ke^{-\tau s}}{1+Ts}$
其中$K$爲對象的增益，$T$爲對象的時間常數，$\tau$爲對象的滯後時間。

考慮由具有傳遞函數$G(s)$的對象和具有繼電特性的反饋部分組成的簡單反饋系統如圖2所示。這時系統的閉環特徵方程發生振盪的條件可以寫成：$1+N(A)G(s)=0 \ \ \ (s=j\omega_c )$（奈奎斯特穩定判據），即$G(j\omega_c)=-1/N(A)$。則可得出臨界頻率（穿越頻率）$\omega_c$的增益
$K_c=\frac{1}{|G(j\omega_c)|}=N(A)$
最終我們得到系統的臨界增益
$K_c =\frac{4d}{\pi A}$
系統的振盪週期$T_c$可以通過測量輸出曲線相鄰峯值的時間得到

到這裏，我們就獲得了$K_c$和$T_c$，按照Z-N表即可獲得PID參數，如下所示

控制規律	$K_c$	$T_i$	$T_d$
P	$0.5K_{c}$
PI	$0.45K_{c}$	$0.83T_{c}$
PID	$0.6K_{c}$	$0.5T_{c}$	$0.12T_{c}$

補充說明：在繼電特性測試中，輸出信號滯後輸入信號一個pi，由於繼電環節並不會改變信號相位，所以只能是被控過程改變了信號相位，也就是在奈式曲線中，角頻率達到了穿越角頻率。

simulink仿真實驗

搭建simulink仿真圖，如下所示

將開關打到繼電環節上，進行繼電特性測試，以獲取被控過程特性參數，得到下圖

得到$T_c=2.9s$，$K_c=29$，按照Z-N整定表，整定得PID參數分別爲$K_p = 17.4，K_i = 11.9, K_d = 6.05$。得到參數後將開關打到PID控制器並輸入控制器參數，仿真得到下圖