重溫矩陣（I） 矩陣與線性變換

關於爲什麼寫這些文章：

數學專業畢業已久，總想爲以前所學做個紀念，而苦於找不到一個入口。最近研究所需又重新接觸到了原先所學的矩陣方面知識。溫故而知新，有感而發便想把自己想到的東西寫下來，於是利用幾天的空餘時間寫下自己的感想，誰知越寫越多，主題便隨之不明確起來，乾脆分成若干段來寫。隨着主題增多，我發現每一個主題我都無法講的很好，彷彿隔靴撓癢蜻蜓點水一般，現在我彷彿發現了爲什麼主題多往往都是泛泛而談的道理了。主題多了我的知識儲備完全達不到能夠深入淺出的程度，往往落到自己想寫的想法而自己有無法確認的境地，在重新翻看書本以及在網上搜尋各種名詞的過程中，我發現了很多主題相關的文章，如<漫談高數系列>文章就是其中的好文，讀之有如第一次讀到林達華的博客的感想：那是一種望塵莫及與望洋興嘆的失落感：我想到的他們全想到了，我沒想到的，他們都想到了。

回首看看自己已經寫了的幾篇，已經快成爲了“拾人牙慧”，因此，有心發到自己的QQ上也算是一種勇氣吧。倘若它時回過頭來，倒也算作一種紀念吧。

 

想來數年前看過電影《MATRIX》（中文譯名如雷貫耳：黑客帝國），感覺不同凡響。如果說數學能給人帶來什麼？誇大一點，數學可以讓你擁有救世主NEO一樣洞穿世界的能力：眼中的世界不是表象，而是本質：一個矩陣

不過爲了嚴謹些，neo眼中的世界是個計算機虛擬的產物，本質是個矩陣並無任何偏頗的地方，而我們應看到，現今在電腦中看到的聽到的不僅包括圖片，音樂或者視頻實質上都是矩陣。

矩陣這個數學名詞所包含的並非僅僅是這些，可以說，我們日常看到那些形形色色的矩陣仍然是其表象，其蘊含的本質並不是僅僅那麼一列列一行行的數字。

我在大學裏剛接觸矩陣時，對那麼生硬的一列列數字很不習慣，各種運算相對於單變量的運算看起來也那麼的不顯然，例如矩陣的乘法就顯得十分的讓人難以理解，有時課下也推了一推，發現矩陣這樣定義運算並沒有任何的矛盾之處。最後真正接納矩陣這個概念的是通過大家所熟悉的線性方程組，於是腦子也似乎就爲矩陣定下了格，它就是線性方程組的係數陣。方程組的有解無解的判別就靠他了。

現在想來，上面的理解其實只是矩陣本質的一個現象。彷彿是大的結果的小小特例。把矩陣理解成一個線性變換倒是可以很好的描述更多的矩陣的特徵。而我正想通過小小的一些例子來說明矩陣的各種理解：

 

對於一個二維線性空間（試用平面幾何的觀點理解），往往存在以下的幾種變換：（引自wiki）

1.    平移（移動原點）

2.    旋轉

3.    反射

4.    拉伸

5.    壓縮

以及他們的組合。

事實上，我們將會發現除了平移對於2*2矩陣來說不那麼明顯外，幾乎其他的均可以很好的通過矩陣完成。

關於這點，我們首先需說明，爲什麼在平移這項上2維方陣出現了無能爲力的現象，

其實答案很簡單，當你發現對於原點，方陣並不能使之發生平移，所以對於其他的向量矩陣無能爲力也就在情理之中了，至少我是這樣理解對於空間中的向量事實上並沒有起點這一說的，向量是有方向的定長線段，簡單的說向量是不會固定位置的，

而定義向量，我們又似乎需要一個基本的出發點，那就是原點；原點都動不了，自然空間也不會發生平移。基於這個結論，對空間中的點進行平移用2維方陣確實是不可行的。

不過對於這個問題在計算機圖形學中可以得到解決，當然這個變換的矩陣也就不再是2維。

 

讓我們回到主題，對於這幾種變換對應的矩陣是怎樣的呢？

   有過線性代數學習經驗的同學大概都有很深的認識，當然用幾何的觀點來看代數中的概念本身就是一件很有意思的事，那麼，就讓我比較不專業的用圖像來解釋吧！

下面就是一些例子（wiki）：

§                     逆時針旋轉 90 度:A = [0,-1;1,0];

§                     逆時針旋轉 θ 度:R = [cos(θ),sin(θ);-sin(θ),cos(θ)];

§                     針對 x 軸反射: R = [1,0;0,-1];

§                     在所有方向上縮放 2 倍: A = [2,0;0,2];

§                     垂直錯切:A = [1,m;0,1];

§                     擠壓:A = [k,0;0,1/k];

§                     投影於 y 軸:A = [0,0,0,1];

 

上面的例子給了我們最爲簡單和直觀的說明：矩陣他到底幹了些什麼？

其實我們這只是很小的一部分，對於一個矩陣他的能力我們怎樣進行分析：

例如對於那些量，矩陣改變了他們什麼？

這些問題是作爲特徵值以及特徵向量進行描述的，這裏不妨舉一個簡單的例子來說明矩陣的這些問題，我們知道對於病態的線性方程組我們的數值算法往往會產生很大的誤差，其中本源就在於係數矩陣是一個病態矩陣，那麼病態的矩陣會產生什麼樣的變換效果呢？

 

這裏我們取經典的希爾伯特矩陣爲例：

其實也很簡單

H = [1  ,1/2

         1/2,1/3 ];

 

觀察它對我們的單位圓做了些什麼？

 

結果是不是很畸形，呵呵，難怪我們稱它爲病態了。

 

我現在總是想爲以前的數學所學找意義，不管是幾何意義或者是物理意義也好，發現一個現實中問題能夠映射回書本上的概念總是讓我欣喜異常，時而陷入苦思，擔心我所得的“意義”也許是我的主觀的一廂情願，時而輾轉反側，因爲我找到的意義似乎與書上的結論並不符合。但我至少認爲：

數學上的真理總能找到其幾何意義或者物理意義，

沒有幾何或物理意義的命題往往是錯的，

或者是我們沒有找到。