1. 標準正交基定義
如果一個基中的每一個向量長度爲1，且任意兩個不同的向量的點積等於0，那麼該基就稱爲標準正交基，例如：
2. 標準正交基下座標的求法
標準正交基有什麼好處？它們可以構造很好的座標系，此時求該座標系中的座標時，可以簡化計算量
![\left [ \vec{x} \right ]_B = \begin{bmatrix} c_1\\ c_2\\ \cdots \\ c_k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \vec{v}_1 \cdot \vec{x} \\ \vec{v}_2 \cdot \vec{x} \\ \cdots \\ \vec{v}_k \cdot \vec{x} \end{bmatrix}](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%5B%20%5Cvec%7Bx%7D%20%5Cright%20%5D_B%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20c_1%5C%5C%20c_2%5C%5C%20%5Ccdots%20%5C%5C%20c_k%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20%5Cvec%7Bv%7D_1%20%5Ccdot%20%5Cvec%7Bx%7D%20%5C%5C%20%5Cvec%7Bv%7D_2%20%5Ccdot%20%5Cvec%7Bx%7D%20%5C%5C%20%5Ccdots%20%5C%5C%20%5Cvec%7Bv%7D_k%20%5Ccdot%20%5Cvec%7Bx%7D%20%5Cend%7Bbmatrix%7D)
假設：
爲子空間V的標準正交基，
因此：
通用的做法是：
![\left \[ \vec{x} \right \] = C^{-1} \vec{x}](https://pic1.xuehuaimg.com/proxy/csdn/https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%5C%5B%20%5Cvec%7Bx%7D%20%5Cright%20%5C%5D%20%3D%20C%5E%7B-1%7D%20%5Cvec%7Bx%7D)
但如果維數較多，那麼計算量會非常大；如果C不可逆，求解會更麻煩
3. 標準正交基下投影的計算
假設子空間V的基爲標準正交基S：
基S構成的矩陣爲：
那麼：
因此：
更深層次的理解，針對標準正交基，向量在子空間的投影等於向量在每一個基向量上的投影之和：
假設向量x爲Rn中的一個向量，因此：
即投影等於向量在每一個基向量上的投影之和
注意：向量x不在子空間V中，如果在子空間V中，相當於座標變換
4. 標準正交方陣基
標準正交方陣基構成的矩陣稱爲正交矩陣
4.1 正交矩陣轉置等於逆:
證明：
又因爲：
所以：
用轉置矩陣代替逆矩陣，可以減少計算量
4.2 正交變換保長和保角
變換矩陣爲正交矩陣的變換稱爲正交變換，正交變換保長和保角，即正交變換爲旋轉變換 (其它變換長度或夾角可能會發生變化):
保長證明：
保角證明：
向量v和向量w經過C變換後：
5. Gram-Schmidt過程
從普通基構造標準正交基的過程，稱爲schmidt過程：先將第一個列向量變成單位向量，然後根據第二個列向量在第一個列向量上的投影，求出第二個基向量，以此類推