一、整除
整除是整數問題中一個重要的基本概念.如果整數a除以自然數b，商是整數且餘數爲0，我們就說a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，記作b丨a.此時，b是a的一個因數（約數），a是b的倍數.
1.整除的性質
性質1 如果a和b都能被m整除，那麼a+b，a-b也都能被m整除（這裏設a>b）.
例如：3丨18，3丨12，那麼3丨（18+12），3丨（18-12）.
性質2 如果a能被b整除，b能被c整除，那麼a能被c整除。
例如： 3丨6，6丨24，那麼3丨24.
性質3 如果a能同時被m、n整除，那麼a也一定
能被m和n的最小公倍數整除.
例如：6丨36，9丨26，6和9的最小公倍數是18，18丨36.
如果兩個整數的最大公約數是1，那麼它們稱爲互質的.
例如：7與50是互質的，18與91是互質的.
性質4 整數a，能分別被b和c整除，如果b與c互質，那麼a能被b×c整除.
例如：72能分別被3和4整除，由3與4互質，72
能被3與4的乘積12整除.
性質4中，“兩數互質”這一條件是必不可少的.72分別能被6和8整除，但不能被乘積48整除，這就是因爲6與8不互質，6與8的最大公約數是2.
性質4可以說是性質3的特殊情形.因爲b與c互質，它們的最小公倍數是b×c.事實上，根據性質4，我們常常運用如下解題思路：
要使a被b×c整除，如果b與c互質，就可以分別考慮，a被b整除與a被c整除.
能被2，3，4，5，8，9，11整除的數都是有特徵的，我們可以通過下面講到的一些特徵來判斷許多數的整除問題.
2.數的整除特徵
（1）能被2整除的數的特徵：
如果一個整數的個位數是偶數，那麼它必能被2整除.
（2）能被5整除的數的特徵：
如果一個整數的個位數字是0或5，那麼它必能被5整除.
（3）能被3（或9）整除的數的特徵：
如果一個整數的各位數字之和能被3（或9）整除，那麼它必能被3（或9）整除.
（4）能被4（或25）整除的數的特徵：
如果一個整數的末兩位數能被4（或25）整除，那麼它必能被4（或25）整除.
（5）能被8（或125）整除的數的特徵：
如果一個整數的末三位數能被8（或125）整除，那麼它必能被8（或125）整除.
（6）能被11整除的數的特徵：
如果一個整數的奇數位數字之和與偶數位數字之和的差（大減小）能被11整除，那麼它必能被11整除.
是什麼數字？
解：18=2×9，並且2與9互質，根據前面的性質4，可以分別考慮被2和9整除.
要被2整除，b只能是0，2，4，6，8.
再考慮被9整除，四個數字的和就要被9整除，已有7+4=11.
如果 b=0，只有 a=7，此數是 7740；
如果b=2，只有a=5，此數是7542；
如果b＝4，只有a＝3，此數是 7344；
如果 b＝6，只有 a＝1，此數是 7146；
如果b＝8，只有a＝8，此數是7848.
因此其中最小數是7146.
根據不同的取值，分情況進行討論，是解決整數問題常用辦法，例1就是一個典型.
例2 一本老賬本上記着：72只桶，共□67.9□元，其中□處是被蟲蛀掉的數字，請把這筆賬補上.
解：把□67.9□寫成整數679，它應被72整除.72＝9×8，9與8又互質.按照前面的性質4，只要分別考慮679被8和被9整除.從被8整除的特徵，79要被8整除，因此b＝2.從6792能被9整除，按照被9整除特徵，各位數字之和+24能被9整除，因此a＝3.
這筆帳是367.92元.
例3 在1，2，3，4，5，6六個數字中選出儘可能多的不同數字組成一個數（有些數字可以重複出現），使得能被組成它的每一個數字整除，並且組成的數要儘可能小.
解：如果選數字5，組成數的最後一位數字就必須是5，這樣就不能被偶數2，4，6整除，也就是不能選2，4，6.爲了要選的不同數字儘可能多，我們只能不選5，而選其他五個數字1，2，3，4，6.1+2+3+4+6＝16，爲了能整除3和6，所用的數字之和要能被3整除，只能再添上一個2，16+2＝18能被3整除.爲了儘可能小，又要考慮到最後兩位數能被4整除.組成的數是
122364.
例4 四位數7□4□能被55整除，求出所有這樣的四位數.
解：55＝5×11，5與11互質，可以分別考慮被5與11整除.
要被5整除，個位數只能是0或5.
再考慮被11整除.
（7+4）-（百位數字+0）要能被11整除，百位數字只能是0，所得四位數是7040.
（7+4）-（百位數字+5）要能被11整除，百位數字只能是6（零能被所有不等於零的整數整除），所得四位數是7645.
滿足條件的四位數只有兩個：7040，7645.
例5 一個七位數的各位數字互不相同，並且它能被11整除，這樣的數中，最大的是哪一個？
要使它被11整除，要滿足
（9+7+5+b）-（8+6+a）=（21+b）-（14+a）
能被11整除，也就是7+b-a要能被11整除，但是a與b只能是0，1，2，3，4中的兩個數，只有b＝4，a＝0，滿足條件的最大七位數是9876504.
再介紹另一種解法.
先用各位數字均不相同的最大的七位數除以11（參見下頁除式）.
要滿足題目的條件，這個數是9876543減6，或者再減去11的倍數中的一個數，使最後兩位數字是0，1，2，3，4中的兩個數字.
43-6＝37，37-11＝26，26-11＝15，15-11＝4，因此這個數是9876504.
思考題：如果要求滿足條件的數最小，應如何去求，是哪一個數呢？
（答：1023495）
例6 某個七位數1993□□□能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那麼它的最後三個數字組成的三位數是多少？
與上例題一樣，有兩種解法.
解一：從整除特徵考慮.
這個七位數的最後一位數字顯然是0.
另外，只要再分別考慮它能被9，8，7整除.
1＋9＋9＋3＝22，要被9整除，十位與百位的數字和是5或14，要被8整除，最後三位組成的三位數要能被8整除，因此只可能是下面三個數：
1993500，1993320，1993680，
其中只有199320能被7整除，因此所求的三位數是320.
解二：直接用除式來考慮.
2，3，4，5，6，7，8，9的最小公倍數是2520，這個七位數要被2520整除.
現在用1993000被2520來除，具體的除式如下：
因爲 2520-2200＝320，所以1993000+320=1993320能被2520整除.
例7 下面這個41位數
能被7整除，中間方格代表的數字是幾？
解：因爲 111111＝3×7×11×13×37，所以
555555＝5×111111和999999＝9×111111
都能被7整除.這樣，18個5和18個9分別組成的18位數，也都能被7整除.
右邊的三個加數中，前、後兩個數都能被7整除，那麼只要中間的55□99能被7整除，原數就能被7整除.
把55□99拆成兩個數的和：
55A00＋B99，
其中□=A+B.
因爲7丨55300，7丨399，所以□=3+3＝6.
注意，記住111111能被7整除是很有用的.
例8 甲、乙兩人進行下面的遊戲.
兩人先約定一個整數N.然後，由甲開始，輪流把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十個數字之一填入下面任一個方格中
每一方格只填一個數字，六個方格都填上數字（數字可重複）後，就形成一個六位數.如果這個六位數能被N整除，就算乙勝；如果這個六位數不能被N整除，就算甲勝.
如果N小於15，當N取哪幾個數時，乙能取勝？
解：N取偶數，甲可以在最右邊方格里填一個奇數（六位數的個位），就使六位數不能被N整除，乙不能獲勝.N＝5，甲可以在六位數的個位，填一個不是0或5的數，甲就獲勝.
上面已經列出乙不能獲勝的N的取值.
如果N＝1，很明顯乙必獲勝.
如果N＝3或9，那麼乙在填最後一個數時，總是能把六個數字之和，湊成3的整數倍或9的整數倍.因此，乙必能獲勝.
考慮N＝7，11，13是本題最困難的情況.注意到1001＝7×11×13，乙就有一種必勝的辦法.我們從左往右數這六個格子，把第一與第四，第二與第五，第三與第六配對，甲在一對格子的一格上填某一個數字後，乙就在這一對格子的另一格上填同樣的數字，這就保證所填成的六位數能被1001整除.根據前面講到的性質2，這個六位數，能被7，11或13整除，乙就能獲勝.
綜合起來，使乙能獲勝的N是1，3，7，9，11，13.
記住，1001＝7×11×13，在數學競賽或者做智力測驗題時，常常是有用的.
二、分解質因數
一個整數，它的約數只有1和它本身，就稱爲質數（也叫素數）.例如，2，5，7，101，….一個整數除1和它本身外，還有其他約數，就稱爲合數.例如，4，12，99，501，….1不是質數，也不是合數.也可以換一種說法，恰好只有兩個約數的整數是質數，至少有3個約數的整數是合數，1只有一個約數，也就是它本身.
質數中只有一個偶數，就是2，其他質數都是奇數.但是奇數不一定是質數，例如，15，33，….
例9 ○＋（□+△）=209.
在○、□、△中各填一個質數，使上面算式成立.
解：209可以寫成兩個質數的乘積，即
209＝11×19.
不論○中填11或19，□+△一定是奇數，那麼□與△是一個奇數一個偶數，偶質數只有2，不妨假定△內填2.當○填19，□要填9，9不是質數，因此○填11，而□填17.
這個算式是 11×（17＋2）＝209，
11×（2＋17）＝ 209.
解例9的首要一步是把209分解成兩個質數的乘積.把一個整數分解成若干個整數的乘積，特別是一些質數的乘積，是解決整數問題的一種常用方法，這也是這一節所講述的主要內容.
一個整數的因數中，爲質數的因數叫做這個整數的質因數，例如，2，3，7，都是42的質因數，6，14也是42的因數，但不是質因數.
任何一個合數，如果不考慮因數的順序，都可以唯一地表示成質因數乘積的形式，例如
360＝2×2×2×3×3×5.
還可以寫成360＝23×32×5.
這裏23表示3個2相乘，32表示2個3相乘.在23中，3稱爲2的指數，讀作2的3次方，在32中，2稱爲3的指數，讀作3的2次方.
例10 有四個學生，他們的年齡恰好是一個比一個大1歲，而他們的年齡的乘積是5040，那麼，他們的年齡各是多少？
解：我們先把5040分解質因數
5040＝24×32×5×7.
再把這些質因數湊成四個連續自然數的乘積：
24×32×5×7＝7×8×9×10.
所以，這四名學生的年齡分別是7歲、8歲、9歲和10歲.
利用合數的質因數分解式，不難求出該數的約數個數（包括1和它本身）.爲尋求一般方法，先看一個簡單的例子.
我們知道24的約數有8個：1，2，3，4，6，8，12，24.對於較大的數，如果一個一個地去找它的約數，將是很麻煩的事.
因爲24＝23×3，所以24的約數是23的約數（1，2，22，23）與3的約數（1，3）之間的兩兩乘積.
1×1，1×3，2×1，2×3，22×1，22×3，23×1，23×3.
這裏有4×2＝8個，即 （3＋1）×（1＋1）個，即對於24＝23×3中的23，有（3＋1）種選擇：1，2，22，23，對於3有（1＋1）種選擇.因此共有（3＋1）×（1＋1）種選擇.
這個方法，可以運用到一般情形，例如，
144＝24×32.
因此144的約數個數是（4＋1）×（2+1）＝15（個）.
例11 在100至150之間，找出約數個數是8的所有整數.
解：有8＝7＋1； 8＝（3＋1）×（1＋1）兩種情況.
（1）27＝128，符合要求，
37＞150，所以不再有其他7次方的數符合要求.
（2）23＝8，
8×13＝104， 8×17＝136，符合要求.
33＝27；
只有27×5＝135符合要求.
53＝135，它乘以任何質數都大於150，因此共有4個數合要求：128，104，135，136.
利用質因數的分解可以求出若干個整數的最大公約數和最小公倍數.先把它們各自進行質因數分解，例如
720＝24×32×5，168＝23×3×7.
那麼每個公共質因數的最低指數次方的乘積就是最大公約數，上面兩個整數都含有質因數2，較低指數次方是23，類似地都含有3，因此720與168的最大公約數是
23×3＝ 24.
在求最小公倍數時，很明顯每個質因數的最高指數次方的乘積是最小公倍數.請注意720中有5，而168中無5，可以認爲較高指數次方是51=5.720與168的最小公倍數是
24×32×5×7＝5040.
例12 兩個數的最小公倍數是180，最大公約數是30，已知其中一個數是90，另一個數是多少？
解：180＝22×32×5，
30＝2×3×5.
對同一質因數來說，最小公倍數是在兩數中取次數較高的，而最大公約數是在兩數中取次數較低的，從22與2就知道，一數中含22，另一數中含2；從32與3就知道，一數中含32，另一數中含3，從一數是
90＝2×32×5.
就知道另一數是
22×3×5＝60.
還有一種解法：
另一數一定是最大公約數30的整數倍，也就是在下面這些數中去找
30， 60， 90， 120，….
這就需要逐一檢驗，與90的最小公倍數是否是180，最大公約數是否是30.現在碰巧第二個數60就是.逐一去檢驗，有時會較費力.
例13 有一種最簡真分數，它們的分子與分母的乘積都是420.如果把所有這樣的分數從小到大排列，那麼第三個分數是多少？
解：把420分解質因數
420＝2×2×3×5×7.
爲了保證分子、分母不能約分（否則約分後，分子與分母的乘積不再是420了），相同質因數（上面分解中的2），要麼都在分子，要麼都在分母，並且分子應小於分母.分子從小到大排列是
1，3，4，5，7，12，15，20.
分子再大就要超過分母了，它們相應的分數是
兩個整數，如果它們的最大公約數是1.就稱這兩個數是互質的.
例13實質上是把420分解成兩個互質的整數.
利用質因數分解，把一個整數分解成若干個整數的乘積，是非常基本又是很有用的方法，再舉三個例題.
例14 將8個數6，24，45，65，77，78，105，110分成兩組，每組4個數，並且每組4個數的乘積相等，請寫出一種分組.
解：要想每組4個數的乘積相等，就要讓每組的質因數一樣，並且相同質因數的個數也一樣才行.把8個數分解質因數.
6＝2×3， 24＝23×3，
45＝32×5， 65＝5×13，
77＝7×11， 78＝2×3×13，
105＝3×5×7， 110＝2×5×11.
先放指數最高的質因數，把24放在第一組，爲了使第二組裏也有三個2的因子，必須把6，78，110放在第二組中，爲了平衡質因數11和13，必須把77和65放在第一組中.看質因數7，105應放在第二組中，45放在第一組中，得到
第一組：24，65，77，45.
第二組：6，78，110，105.
在講述下一例題之前，先介紹一個數學名詞--完全平方數.
一個整數，可以分解成相同的兩個整數的乘積，就稱爲完全平方數.
例如：4＝2×2， 9＝3×3， 144＝12×12， 625＝25×25.4，9，144，625都是完全平方數.
一個完全平方數寫出質因數分解後，每一個質因數的次數，一定是偶數.
例如：144＝32×42， 100＝22×52，…
例15 甲數有9個約數，乙數有10個約數，甲、乙兩數最小公倍數是2800，那麼甲數和乙數分別是多少？
解：一個整數被它的約數除後，所得的商也是它的約數，這樣的兩個約數可以配成一對.只有配成對的兩個約數相同時，也就是這個數是完全平方數時，它的約數的個數纔會是奇數.因此，甲數是一個完全平方數.
2800＝24×52×7.
在它含有的約數中是完全平方數，只有
1，22，24，52，22×52，24×52.
在這6個數中只有22×52＝100，它的約數是（2＋1）×（2+1）＝9（個）.
2800是甲、乙兩數的最小公倍數，上面已算出甲數是100＝22×52，因此乙數至少要含有24和7，而24×7＝112恰好有（4+1）×（1＋1）＝10（個）約數，從而乙數就是112.
綜合起來，甲數是100，乙數是112.
例16 小明買紅藍兩種筆各1支共用了17元.兩種筆的單價都是整元，並且紅筆比藍筆貴.小強打算用35元來買這兩種筆（也允許只買其中一種），可是他無論怎麼買都不能把35元恰好用完，問紅筆、藍筆每支各多少元？
解：35＝5×7.紅、藍的單價不能是5元或7元（否則能把35元恰好用完），也不能是17-5＝12（元）和17-7＝10（元），否則另一種筆1支是5元或7元.
記住：對筆價來說，已排除了5，7，10，12這四個數.
筆價不能是35-17=18（元）的約數.如果筆價是18的約數，就能把18元恰好都買成筆，再把17元買兩種筆各一支，這樣就把35元恰好用完了.因此筆價不能是18的約數：1，2，3，6，9.
當然也不能是17-1＝16，17-2＝15，17-3＝14，17-6＝11， 17-9＝8.現在筆價又排除了：
1，2，3，6，8，9，11，14，15，16.
綜合兩次排除，只有4與13未被排除，而4＋13＝17，就知道紅筆每支 13元，藍筆每支 4元.
三、餘數
在整數除法運算中，除了前面說過的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例如 95÷3， 48÷5.不能整除就產生了餘數.通常的表示是：
65÷3＝21…… 2， 38÷5＝7…… 3.
上面兩個算式中2和3就是餘數，寫成文字是
被除數÷除數=商……餘數.
上面兩個算式可以寫成
65＝3×21＋2， 38＝5×7＋3.
也就是
被除數=除數×商+餘數.
通常把這一算式稱爲帶餘除式，它使我們容易從“餘數”出發去考慮問題，這正是某些整數問題所需要的.
特別要提請注意：在帶餘除式中，餘數總是比除數小，這一事實，解題時常作爲依據.
例17 5397被一個質數除，所得餘數是15.求這個質數.
解：這個質數能整除
5397-15＝5382，
而 5382＝2×31997×13×23.
因爲除數要比餘數15大，除數又是質數，所以它只能是23.
當被除數較大時，求餘數的一個簡便方法是從被除數中逐次去掉除數的整數倍，從而得到餘數.
例18 求645763除以7的餘數.
解：可以先去掉7的倍數630000餘15763，再去掉14000還餘下 1763，再去掉1400餘下363，再去掉350餘13，最後得出餘數是6.這個過程可簡單地記成
645763→15763→1763→363→13→6.
如果你演算能力強，上面過程可以更簡單地寫成：
645763→15000→1000→6.
帶餘除法可以得出下面很有用的結論：
如果兩個數被同一個除數除餘數相同，那麼這兩個數之差就能被那個除數整除.
例19 有一個大於1的整數，它除967，1000，2001得到相同的餘數，那麼這個整數是多少？
解：由上面的結論，所求整數應能整除 967，1000，2001的兩兩之差，即
1000-967＝33＝3×11，
2001-1000＝1001＝7×11×13，
2001-967＝1034＝2×11×47.
這個整數是這三個差的公約數11.
請注意，我們不必求出三個差，只要求出其中兩個就夠了.因爲另一個差總可以由這兩個差得到.
例如，求出差1000-967與2001-1000，
那麼差
2001-967＝（2001-1000）＋（1000-967）
＝1001＋33
＝1034.
從帶餘除式，還可以得出下面結論：
甲、乙兩數，如果被同一除數來除，得到兩個餘數，那麼甲、乙兩數之和被這個除數除，它的餘數就是兩個餘數之和被這個除數除所得的餘數.
例如，57被13除餘5，152被13除餘9，那麼57+152=209被13除，餘數是5＋9＝14被13除的餘數1.
例20 有一串數排成一行，其中第一個數是15，第二個數是40，從第三個數起，每個數恰好是前面兩個數的和，問這串數中，第1998個數被3除的餘數是多少？
解：我們可以按照題目的條件把這串數寫出來，再看每一個數被3除的餘數有什麼規律，但這樣做太麻煩.根據上面說到的結論，可以採取下面的做法，從第三個數起，把前兩個數被3除所得的餘數相加，然後除以3，就得到這個數被3除的餘數，這樣就很容易算出前十個數被3除的餘數，列表如下：
從表中可以看出，第九、第十兩數被3除的餘數與第一、第二兩個數被3除的餘數相同.因此這一串數被3除的餘數，每八個循環一次，因爲
1998＝ 8×249＋ 6，
所以，第1998個數被3除的餘數，應與第六個數被3除的餘數一樣，也就是2.
一些有規律的數，常常會循環地出現.我們的計算方法，就是循環制.計算鐘點是
1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.
這十二個數構成一個循環.
按照七天一輪計算天數是
日，一，二，三，四，五，六.
這也是一個循環，相當於一些連續自然數被7除的餘數
0， 1， 2， 3， 4， 5， 6
的循環.用循環制計算時間：鐘錶、星期、月、四季，說明人們很早就發現循環現象.用數來反映循環現象也是很自然的事.
循環現象，我們還稱作具有“週期性”，12個數的循環，就說週期是12，7個數的循環，就說週期是7.例20中餘數的週期是8.研究數的循環，發現週期性和確定週期，是很有趣的事.
下面我們再舉出兩個餘數出現循環現象的例子.在講述例題之前，再講一個從帶餘除式得出的結論：
甲、乙兩數被同一除數來除，得到兩個餘數.那麼甲、乙兩數的積被這個除數除，它的餘數就是兩個餘數的積，被這個除數除所得的餘數.
例如，37被11除餘4，27被11除餘5，37×27＝999被11除的餘數是 4×5＝20被11除後的餘數9.
1997＝7×285＋2，就知道1997×1997被7除的餘數是2×2＝4.