Haskell 狀態Monad (State Monad)的理解

1、State s a數據類型

State s a是一種用來封裝狀態處理函數：\s -> (a,s’)的數據結構，因爲State封裝的是一個函數，而不是狀態s本身，所以稱State爲State類型(type)是不準確的，應該把State s a稱爲狀態處理器(State processor)。

newtype State s a = State { runState :: s -> (a,s) }
-- 即：newtype State s a = State (s -> (a,s))

• 【注意】(\s -> (a,s’)) 是狀態處理函數，封裝了狀態處理函數的State容器叫做狀態處理器，不要混淆了。

• 儘管將State稱爲類型不準確，但畢竟State s a是通過 newtype定義的，也就是對現有類型的封裝。我們可以不準確地將其稱爲State數據類型，該類型有兩個類型參數：表示狀態的類型參數 s 以及表示結果的類型參數 a。雖然寫作State s a，但在理解上，我們應該把State看成是一個裝了狀態處理函數的容器State (s -> (a, s))，即狀態處理器。

• State s a的實質是State (s -> (a, s))，State s a與State (s -> (a, s))完全等價。

• 通過 runState 訪問函數可以從 State 類型中取出這個封裝在裏面的狀態處理函數：\s -> (a,s’)，該函數接收一個狀態參數 s，經過計算（轉換）之後返回一個由狀態s下對應的返回結果 a 以及新的狀態 s’的二元組(a, s’)。runState可以直接當作狀態處理函數的函數名，他相當於把State容器中的狀態處理函數從State容器中取出來。

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2、State s的Monad實例

instance Monad (State s) where
return :: x -> State s x 
return x = state (\s -> (x, s))    --注意這裏state的s是小寫
-- return x = State $ \s -> (x,s)  --注意這裏的State的S是大寫

(>>=) :: State s a -> (a -> State s b) -> State s b
pr >>= f = state $ \ st ->
   let (x, st') = runState pr st   -- Running the first processor on st
   in runState (f x) st'           -- Running the second processor on st'

• state :: (s -> (a, s)) -> State s a 即：把一個狀態處理函數封裝到State容器裏

• return函數把結果x封裝成一個State s x即State (s -> (x, s))的狀態處理器

• bind 函數的類型簽名爲：(>>=) :: State s a -> (a -> State s b) -> State s b
  大致相當於 State (s -> (a, s)) -> (a -> State (s -> (b, s))) -> State (s -> (b, s))

• 函數(a -> State s b)相當於一個生成狀態處理器State (s -> (b, s))的函數，稱爲狀態處理器生成函數f。

• 整個bind函數最後返回的結果爲一個狀態處理器State(s -> (b, s))，即用裝入了狀態處理函數的State容器

(1) 對bind函數(>>=)的理解：

1. bind運算的左側爲一個狀態處理器pA (寫爲State s a類型，理解爲裝了一個狀態轉換函數的State容器State (\s1 -> (v1, s2)))

2. bind運算的右側爲一個狀態處理器生成函數f （即： \v1 -> State (\s2 -> (v2, s3))），該函數接受一個結果v1，返回一個狀態處理器pB（即：State (\s2 -> (v2, s3))）

3. 我們將pA >>= f 產生pB的這一個過程記爲pAB，即pAB = pA >>= f，pAB爲一個封裝了由s1到(v2, s3)的State容器

【注意】pB與pAB不是一樣的，pB是封裝了(\s2 -> (v2, s3)) 的State容器，而pAB是封裝了(\s1 -> (v2, s3)) 的State容器

(2) 數據流向：

1. 首先給定一個初始狀態s1(常稱爲seed)和一個狀態處理器pA，在這個狀態s1下，我們通過runState把狀態處理器pA中的狀態處理函數取出來，並向該函數傳入狀態s1，得到一個包含狀態s1下對應的返回結果v1以及新狀態s2的二元組(v1，s2)

2. 通過狀態處理器生成函數f，我們將得到的二元組(v1，s2)中的v1取出傳入f中，得到一個新的狀態處理器pB。之所以要把v1取出傳給函數f是因爲v1是State s這個Monad中State s a的a，而f需要接收一個State s a中的a，從而生成一個State s b（即pB）

3. 通過runState函數將pB中的狀態處理函數取出來，傳入新的狀態s2，得到一個包含狀態s2下對應的返回結果v2以及新狀態s3的二元組(v2，s3)

(3) 做bind的意義

在計算 pA >> f 的過程中，我們產生了兩個不同狀態(s1、 s2)下對應的兩個結果(v1、v2)，並將狀態更新爲了s3

這就像我們在做僞隨機投骰子一樣，得到了兩次投擲結果v1、v2，並將狀態跟新了，以便下次能繼續根據新狀態s3產生投擲結果

我們可以把狀態處理器pA、pB理解成骰子，狀態處理器生成函數 f 理解爲骰子生成器。相同狀態下骰子產生的結果是唯一的。

• 首先我們有一個狀態s1和一個骰子pA，骰子pA根據狀態s1投出了結果v1，並且將狀態更新爲s2
• 然後骰子生成器 f 接收到v1，得知骰子pA已經被使用，隨後生成一個新的骰子pB，新的骰子pB根據新的狀態s2投出了新的結果v2，並將狀態更新爲s3。

所以：
p >>= f 可以理解爲投了兩次骰子得到了兩個結果
p >>= f >>= f 可以理解爲投了三次骰子得到三個結果
以此類推…

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3、State Monad中的相關函數

(1) 設置與讀取State

在前面，我們討論了給定一個初始狀態s和一個狀態處理器p，我們可以得到一個返回結果a和一個新的狀態s’。初始狀態的話我們可以直接設定，那麼初始狀態處理器是怎麼得到的呢呢？

通過put函數生成狀態處理器：

put newState = State $ \_ -> ((), newState)

• put函數首先接收一個我們給定的初始狀態newState，然後生成一個狀態處理器State (_ -> ((), newState))。這個狀態處理器忽略它接收到的任何state參數，然後返回一個二元組，這個二元組裏包含一個空結果()和輸入給put函數的初始狀態newState。

• 由於我們不需要這個初始狀態newState下返回的結果，我們只是需要一個狀態來替換，所以元組的第一個元素是()，一個佔位的值(universal placeholder value)。

(2) 獲取值與狀態

通過evalState函數，我們可以獲取狀態處理器p在傳入狀態s下，返回的結果a

evalState :: State s a -> s -> a
evalState p s = fst (runState p s)

通過execState函數，我們可以獲取狀態處理器p在傳入狀態s後，生成的新狀態s’

execState :: State s a -> s -> s
execState p s = snd (runState p s)

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