樹的定義
樹（Tree）是n個（n>=0）個結點的有限集。 n=0時稱之爲空樹。在任意一個非空樹中：
（1）有且僅有一個特定的稱爲根（Root）的結點；
（2）當n>1時，其餘結點可分爲m(m>0)個互不相交的有限集T1,T2,T3...Tm，其中每個集合本身就是一棵樹，並且稱爲根的子樹（Subtree）
注：n>0時，樹根僅爲1，不可能存在多個根結點；m>0時，子樹的個數沒有限制，但是他們互不相交（相交及爲圖）。
結點分類
樹的結點包含一個數據元素及若干個指向其子樹的分支。
結點擁有的子樹稱之爲結點的度。
度爲0的結點稱之爲葉子結點（Leaf）或終端結點；度不爲0的節點稱之爲非終端結點或分支結點。
除根節點外，分支結點也稱之爲內部結點。樹的度是樹內各結點度的最大值；
結點間的關係
結點的子樹的根稱之爲該結點的孩子(Child），相應的，該結點稱之爲還在的雙親（Parent）.
同一個雙親的孩子之間互稱兄弟（Sibling）。結點的祖先是從根到該結點所經分支上所有結點。
以某一結點爲根的子樹中，任意結點都稱爲該結點的子孫。
樹的其他相關概念
結點的層次（level）從根開始定義起，根爲第一層，根的孩子爲第二層。
雙親在同一層的結點，互稱之爲堂兄弟。樹中結點最大的層次稱之爲樹的深度（Depth）或者高度。
如果將樹中結點的各個子樹看成從左向右，不能互換的，則稱該樹爲有序樹，否則爲無序樹。
森林（Forest）是m個（m>=0）棵不相交的樹的集合。對樹中每個結點而言，其子樹的集合即爲森林。
線性結構和樹形結構對比
線性結構： 第一個元素：無前驅；最後一個元素：無後繼； 中間元素：一個前驅，一個後繼
樹形結構： 根結點：無雙親，唯一； 葉子結點：無孩子，可以多個； 中間結點：一個雙親，多個孩子
樹的存儲結構
雙親表示法
假設以一組連續控件存儲樹的結點，同時在每個結點中，附設一個指示器指向其雙親結點到鏈表中的位置。
data是數據域，存儲結點的數據信息。而parent是指針域，存儲結點的雙親在數組中的下標。
結點結構定義代碼：
// 樹的雙親表示法結點定義
#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef int TElemType;
typedef struct PTNode //結點結構
{
TElemType data; //結點數據
int parent; //雙親位置
}PTNode;
typedef struct //樹結構
{
PTNode node [MAX_TREE_SIZE]； //結點數組
int r,n; //根的位置和結點樹
}PTree;由於根結點沒有雙親，則約定根節點的位置域設置爲-1。
對於這種存儲結構，我們可以根據結點的parent域來很容易的找到它的雙親結點，所以時間複雜度爲O(1)。直到parent爲-1爲止，表示找到了樹結點的根。
但是對於找到結點孩子是誰時，需要遍歷整個結構才行。可以通過增加域來增加這種結構的靈活性。
孩子表示法
每個結點有多個指針域，其中每個指針指向一棵子樹的根節點，這種方法叫多重鏈表表示法。
把每個結點的孩子排列起來，以單鏈表作存儲結構，則n個結點有n個孩子鏈表，如果是葉子結點，則此單鏈表爲空。然後n個頭指針又組成一個線性表，採用順序存儲結構，存放進一個一維數組中。
爲此需要準備兩種數據結構，一種是孩子鏈表的結點，其中child爲數據域，用來存儲某個結點在表頭數組中的下標。next是指針域，用來存儲指向某結點的下一個孩子結點指針。
另外一種是表頭數組的表頭結點。data爲數據域，存儲某結點的數據信息，firstchild是頭指針域，存儲該結點孩子鏈表的頭結點。
// 樹的孩子表示法結構定義
#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef struct CTNode //孩子結點
{
int child;
struct CTNode *next;
} *ChildPtr;
typedef struct //表頭結構
{
TElemType data;
ChildPtr firstchild;
} CTBox;
typedef struct // 樹結構
{
CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE]； //結點數組
int r,n; //跟的位置和結點數
}CTree;
這種結構對於我們查找某個結點的孩子，或者某個結點的兄弟，只需要查找這個結點的孩子鏈表即可。對於遍歷整個樹也是很方便，對頭結點的數組循環即可。
但是如果要找某個結點的雙親，則需要遍歷整個樹才行。 但是可以把雙親標識法和孩子表示法綜合起來。
孩子兄弟表示法
任意一棵樹，他的結點的第一個孩子如果存在就是唯一的，他的右兄弟如果存在也是唯一的。因此，我們設置兩個指針，分別指向該結點的第一孩子和此結點的右兄弟。
data爲數據域，firstchild爲指針域，存儲結點的第一個孩子結點的存儲地址，rightsib指針域，存儲該結點的有兄弟結點存儲地址
// 樹的孩子兄弟表示法結構定義
typedef struct CSNode
{
TElemType data;
struct CSNode *firstchild, *rightsib;
}CSNode, *CSTree;
二叉樹的定義
二叉樹（Binary Tree） 是n（n>=0）個結點的有線集合，該集合或者爲空集（稱空二叉樹），或者由一個根結點和兩顆互不相交的，分別稱之爲根結點的左子樹和右子樹的二叉樹構成。
二叉樹特點
1，每個結點最多有兩棵子樹，所以二叉樹中不存在度大於2的結點。
2，左子樹和右子樹是有順序的，次序不能任意顛倒。
3，即使樹中某個結點只有一棵子樹，也要區分它是左子樹還是右子樹。
五種基本形態：
1，空二叉樹；
2，只有一個根結點；
3，根結點只有左子樹；
4，根節點只有右子樹；
5，根節點既有左子樹又有右子樹。
對於三個結點的樹，若只考慮形態，只有兩種狀況，但是二叉樹是區分左右的，所以就演變成五種形態。
特殊二叉樹
1，斜樹
所有的結點只有左子樹的二叉樹叫做左斜樹，所有結點只有右子樹的二叉樹叫做右斜樹。
特點，每層只有一個結點，結點的個數與二叉樹的深度相同
2，滿二叉樹
在一棵二叉樹中，如果所有的分支都存在左子樹和右子樹，並且所有葉子都在同一層上，這樣的二叉樹稱爲滿二叉樹。
單是每個結點都存在左右子樹，不能算是滿二叉樹，還必須要所有的葉子結點都在同一層上，這樣做到了整棵樹的平衡。
滿二叉樹的特點：
1，葉子只能出現在最下面一層。
2，非葉子結點的度一定是2。
3，在同樣深度的二叉樹中，滿二叉樹的結點個數最多，葉子數最多。
3，完全二叉樹
對一棵具有n個結點的二叉樹按層序編號，如果編號i (1<=i<=n)的結點與同樣深度的滿二叉樹序號爲i的結點在二叉樹中的位置完全相同，則這個二叉樹爲完全二叉樹。
滿二叉樹一定是一棵完全二叉樹，但是完全二叉樹不一定是滿二叉樹。
完全二叉樹的所有結點與同樣深度的滿二叉樹，他們按層序號的結點，是一一對應的。
完全二叉樹的一些特點：（判斷方法）
1，葉子結點只能出現在最下面兩層；
2，最下層的葉子一定集中在左邊連續位置；
3，倒數兩層，若有葉子結點，一定都在右部連續位置；
4，如果結點度爲1，則該結點只有左孩子，不可能存在只有右子樹的情況；
5，同樣結點樹的二叉樹，完全二叉樹的深度最小。
二叉樹的性質
二叉樹性質1
性質1： 在二叉樹的第i層上至多有2^(i-1)個結點。（i>=1）
二叉樹性質2
性質2：深度爲k的二叉樹至多有2^k-1個結點（k>=1）
注：是2^k -1
二叉樹性質3
性質3：對任何一棵二叉樹T, 如果其終端結點(葉子結點)數爲n0, 度爲2的結點數爲n2,則 n0 = n2 +1;
二叉樹性質4
性質4：具有n個結點的完全二叉樹的深度爲[log2n] + 1.
二叉樹性質5
性質5：如果對一棵有n個結點的完全二叉樹（其深度爲[log2n] + 1）的結點按層序號，對任一結點i (1<= i<=n)有：
1，如果i =1, 則結點i是二叉樹的根，無雙親；如果i>1, 則其雙親是結點[i/2];
2，如果2i > n, 則結點i 無左孩子（結點i爲葉子結點）；否則其左孩子是結點2i;
3，如果2i + 1 > n,則結點 i無右孩子； 否則其有孩子是結點 2i+1;
二叉樹的存儲結構
二叉樹順序存儲結構
二叉樹的順序存儲結構就是用一維數組存儲二叉樹中的結點，並且結點的存儲位置，也就是數組的下標需要體現結點間的邏輯關係。
這只是對於完全二叉樹，但是對於一般二叉樹，儘管層序編號不能反映邏輯關係，但是可以將其按完全二叉樹編號，只不過，把不存在的幾點設置爲”/\“。
對於極端情況，一棵深度爲K的右斜樹，他只有K個幾點，卻要分配2^k -1個存儲單元的空間。這顯然是對存儲空間的浪費。 所以對於順序存儲，一般只用在完全二叉樹結構。
二叉鏈表
二叉樹每個結點最多有兩個孩子，所以爲他涉及一個數據域和兩個指針域，稱這樣的鏈表叫做二叉鏈表。
其中data是數據域，lchild 和 rchild 都是指針域。分別存放指向左孩子和有孩子的結點。
// 二叉樹的二叉鏈表結點結構定義
typedef struct BiTNode
{
TELemType data;
struct BiTNode *lchild,*rchild;
}BiTNode, *BiTree;遍歷二叉樹
二叉樹遍歷原理
二叉樹的遍歷，是指從根結點出發，按照某種次序依次訪問二叉樹中所有結點，使得每個結點被訪問一次且僅僅被訪問一次。
二叉樹遍歷方法：
二叉樹的遍歷方式很多：
1，前序遍歷：
規則是若二叉樹爲空，則空操作返回，否則先訪問根結點，然後前序遍歷左子樹，再前序遍歷右子樹。
2，中序遍歷
若樹爲空，則空操作返回，否則從根節點開始（並不是先訪問根節點），中序遍歷根節點的左子樹，然後訪問根節點，最後中序遍歷右子樹。
3，後序遍歷
若樹爲空，則空操作返回，否則從左到右先葉子後根結點的方式遍歷訪問左右子樹，最後是訪問根結點。
4，層序遍歷
若樹爲空，則空操作返回，否則從樹的第一層，也就是根結點開始訪問，從上而下逐層遍歷，在同一層中，按從左到右的順序對結點逐個訪問。
前序遍歷算法
二叉樹定義是用遞歸的方式，所以，實現遍歷算法也可以採用遞歸方式
// 二叉樹的先序遍歷算法
void PreOrderTraverse(BiTree T)
{
if（T == NULL）
return;
printf("%c",T->data); //顯示結點數據
PreOrderTraverse(T->lchild); //先序遍歷左子樹
PreOrderTraverse(T->rchild); //最後先序遍歷右子樹
}非遞歸方式：
void PreOrderTraverseNo(BiTree T)
{
BiTree p,q;
*p = T;
int top; // 棧頂索引
BiTree stack[MAX_SIZE] = {0}; //初始化棧
if(T == NULL)
{
return NULL:
}
else
{
while(p != NULL)
{
cout<< p->data; //訪問結點
q = p->rchild; //取其右子樹結點
if(q != NULL) //不空，壓棧
stack[++top] = q;
p = p->lchild; //遍歷左子樹
if(p == NULL) //爲空彈棧，找右子樹
p = stack[top--];
}
}
}中序遍歷算法
// 二叉樹的中序遍歷算法
void InOrderTraverse(BiTree T)
{
if(T == NULL)
return;
InOrderTraverse(T->lchild); //中序遍歷左子樹
printf("%c",T->data); // 顯示結點數據，可以更改爲其他的對結點操作
InOrderTraverse(T->rchild); //最後中序遍歷右子樹
}後序遍歷算法
// 二叉樹的後序遍歷算法
void PostOrderTraverse(BiTree T)
{
if(T == NULL)
return;
PostOrderTraverse(T->lchild); //後序遍歷左子樹
PostOrderTraverse(T->rchild); //後序遍歷右子樹
printf("%c",T->data); // 顯示結點數據，可以更改爲其他的對結點操作
}二叉樹遍歷的性質：
已知前序遍歷序列和中序遍歷序列，可以唯一確定一棵二叉樹。
已知後續遍歷序列和中序遍歷序列，可以唯一確定一棵二叉樹。
但是，已知前序和後序遍歷，是不能確定一棵二叉樹的。
二叉樹的建立
爲了簡歷一棵樹，爲了讓每個結點確認是否有左右孩子，我們對他進行了擴展，也就是將二叉樹中每個結點的空指針引出一個虛結點，其值爲一個特定值，如”#“。這種處理後的二叉樹叫做原二叉樹的擴展二叉樹。擴展二叉樹就可以做到一個遍歷確定一棵二叉樹，如下樹的前序遍歷爲：AB#D##C##
// 按前序輸入二叉樹中的結點值，#標識空樹，構造二叉鏈表表示的二叉樹
void CreatBiTree(BiTree* T)
{
TElemType ch;
scanf("%c",&ch);
if(cd == '#')
*T = NULL;
else
{
*T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTree));
if(!*T)
{
exit(OVERFLOW);
}
(*T)->data = ch; //生成根結點
CreatBiTree(&(*T)->lchild); //構造左子樹
CreatBiTree(&(*T)->rchild); //構造右子樹
}
}可看到構造子樹時是用到了先序方式，也可以根據需要用中序或者後序方式構造。