線段樹總結

區間有關的問題，如記錄一個區間的最值和總量，並在區間的插入，刪除修改中維護這些最值和總量，用線段樹是很方便的。線段樹擁有良好的樹形二分特性。

詳細的概念參考百度百科http://baike.baidu.com/view/670683.htm

 

在實現中，用以下幾個變量就足夠了。n記錄一共用到了多少個節點，B表示每個頂點的線段的起點，E[i]表示每個線段的終點，C是權值，表示某個線段上的權。初始值爲0。用lson和rson分別表示左孩子和右孩子

 

實現一個線段樹，代碼如下

#ifndef SegmentTree_H #define SegmentTree_H class SegmentTree { public: SegmentTree(int maxsize)//參量表示線段樹最多有多少個頂點 { n=0; B=new int[maxsize]; E=new int[maxsize]; c=new int[maxsize]; lson=new int[maxsize]; rson=new int[maxsize]; }; ~SegmentTree() { delete [] B; delete [] E; delete [] c; delete [] lson; delete [] rson; } void build(int a,int b); void insert(int c,int d,int v); void del(int c,int d,int v); private: int n;// to record how many nodes has been used int *B;//the begin point of node i int *E;// the end point of node i int *c;// to record the weight of node i int *lson;//the left son of node i int *rson;// the right son of node i }; void SegmentTree::build(int a, int b) { n=n+1; int v=n; B[v]=a; E[v]=b; c[v]=0; if(b-a>1) { int average=(a+b)/2; lson[v]=n+1; build(a,average); rson[v]=n+1; build(average,b); } } void SegmentTree::insert(int c,ind d,int v) { if(c<=B[v]&&d>=E[v]) { c[v]++; } else { int avg=(B[v]+E[v])/2; if(c<=avg) insert(c,d,lson[v]); if(d>avg) insert(c,d,rson[v]); } } void SegmentTree::del(int c, int d,int v) { if(c<=B[v]&&d>=E[v]) { if(c[v]>0) c[v]++; } else { int avg=(B[v]+E[v])/2; if(c<=avg) del(c,d,lson[v]); if(d>avg) del(c,d,rson[v]); } } #endif 

線段樹問題

1，鐵路，假設城市鐵路聯網順次連接着c個城市，每兩個城市之間都有火車，座位數量有上限。鐵路上的城市數量<=60000,座位數量<=60000，請求數量<=60000。

請求爲，訂票請求：如果這兩個城市間的座位數量大於等於請求的數量，則輸出T，並更新這兩個城市間的火車的座位數量，否則，輸出F。

 

考慮一下：如果順次三個城市a,b,c (a,b)=3,(b,c)=2,則(a,c)=2，如果有人預定了ac之間的座位，則ab,bc的座位數量都要相應的減少，否則，預定ab的時候就可能出現錯誤。

該問題用線段樹很容易解決。

#ifndef TRAINTICKET_H #define TRAINTICKET_H #include <iostream> class TrainTicket { public: TrainTicket() { n=0; std::cin>>numOfStation>>numOfSeats>>numOfOrders; lson=new int[2*numOfStation]; rson=new int[2*numOfStation]; c=new int[2*numOfStation]; b=new int[2*numOfStation]; e=new int[2*numOfStation]; for(int i=0;i<2*numOfStation;i++) { c[i]=numOfSeats; } build(1,numOfStation); int x,y,z; for(int i=1;i<=numOfOrders;i++) { std::cin>>x>>y>>z; if(check(x,y,1)>=z) { std::cout<<"T"<<std::endl; update(x,y,1,z); } else std::cout<<"F"<<std::endl; } } void build(int x,int y); int check(int x,int y,int v); void update(int x,int y,int v,int z); ~TrainTicket() { delete [] lson; delete [] rson; delete [] c; delete [] b; delete [] e; } private: int numOfStation;//總站數 int numOfSeats;//座位數量 int numOfOrders;//命令數 int n;//線段樹用到的頂點數 int *lson; int *rson; int *c;//當前節點票數； int *b;//該節點起始點 int *e;//頂點終止點 }; void TrainTicket::build(int x, int y) { n=n+1; int v=n; b[v]=x; e[v]=y; if((y-x)>1) { lson[v]=n+1; build(x,(x+y)/2); rson[v]=n+1; build((x+y)/2,y); } } int TrainTicket::check(int x, int y,int v) { if(x>e[v]||y<b[v]) return numOfSeats; if(x<=b[v]&&y>=e[v]) return c[v]; if(e[v]-b[v]==1) return this->numOfSeats; int ave=(b[v]+e[v])/2; int left,right; left=check(x,y,lson[v]); right=check(x,y,rson[v]); return left<right?left:right; } void TrainTicket::update(int x, int y, int v, int z) { if(y<b[v]||x>e[v]) system("exit"); if((e[v]-b[v])==1) c[v]=c[v]-z; else { int ave=(b[v]+e[v])/2; if(x<=ave) update(x,y,lson[v],z); if(y>ave) update(x,y,rson[v],z); c[v]=c[lson[v]]<c[rson[v]]?c[lson[v]]:c[rson[v]]; } } #endif 

2, 樹的構造

一棵含有n個節點的樹，所有的節點的編號爲1，2，3，。。。，n，每個節點v都有一個權值s(v)，也是1，2，3，4，。。n。對於編號爲v的節點，定義t(v)爲v的後代中所有權值小於s(v)的結點個數。現在給出這棵樹及t(1)，t(2),t(3)，。。求出這棵樹每個節點的權值。（多個解，只要任一個解就可以）

 

分析：不妨設有七個節點，編號爲1，2，3，4，5，6，7

結構如下

  1

2 3

4     5    6 7

t: 1,2,1,0,0,0,0

用先序遍歷的順序爲1，2，4，5，3，6，7

設一個權值數組ans[1~7]

將Node1放到2位置，前面留空位一個，Node2放到位置4，前面留了1，3兩個空位，2已經被用了

4，5的t值都爲0，所以分別放到，1，3

Node3的t值爲1放到6位置，前面留空位5，1~4已經被用了

則1~7的權值分配爲

4 1 5 2 6 3 7

 

這樣一來，只需要一次深度優先遍歷就可以了，然後在權值數組上採用如上方法查找空位填入數字即可。最後按照節點順序輸出權值，就分配好了。這樣一來代碼比較簡單

 

但是分配權值的這個可以使用線段樹來實現。這樣代碼就比較複雜，而且實現過程和上面也略有不同，解也不同

鍛鍊一下線段樹的實用，代碼如下

#ifndef TREEBUILD_H #define TREEBUILD_H class TreeBuild { int maxNumOfNodes; int *left;// 線段樹位置左指針 int *right;//線段樹位置右指針 int *m;//線段樹權值 int **g;//表示第i個節點的第j個兒子的序號 int *ans;//權值表 int *b;//度數表 int *q;//先序遍歷序列 bool *vis;//是否訪問的標示符 int n;//頂點個數 int *t;//頂點i的所有後代中，權值小於ans[i]的頂點個數 public: TreeBuild(); void dfs(int x,int index);//x爲深度優先搜索中第index個 void build(int p,int l,int r); int max(int x,int y); void insert(int p,int l,int r,int k,int w);//如果頂點p對應的區間空位數爲k，在節點p，區間l~r上的第k個空位插入權重爲w的點 void find(int p,int l,int r, int k,int w);//如果頂點p對應的區間空位數大於等於k，在頂點p，區間l~r上的第k個空位插入權重爲w的點 void insert1(int p,int l,int r,int w); }; #endif 

#include "stdafx.h" #include <iostream> #include "TreeBuild.h" TreeBuild::TreeBuild() { std::cin>>TreeBuild::n; left=new int[n+1]; right=new int[n+1]; m=new int[n+1]; ans=new int[n+1]; b=new int[n+1]; q=new int[n+1]; vis=new bool[n+1]; t=new int[n+1]; g=new int*[n+1]; for(int i=1;i<=n;i++) { g[i]=new int[i+1]; ans[i]=0; b[i]=0; q[i]=0; vis[i]=false; for(int j=1;j<=n;j++) g[j]=0; } //------------讀入並構建樹，樹的邊數等於n-1 int tempNodeIndex=0; int tempNodeChild=0; for(int i=1;i<n;i++) { std::cin>>tempNodeIndex>>tempNodeChild; b[tempNodeIndex]++; } //-------讀入並構建t數組 for(int i=1;i<=n;i++) { std::cin>>t[i]; } dfs(1,1);//從根節點深度優先數，得到深度優先序列 for(int i=1;i<=n;i++) { find(1,1,n,(t[q[i]]+1),q[i]); } int *ansNode=new int[n+1]; for(int i=1;i<=n;i++) { ansNode[ans[i]]=i; } for(int i=1;i<=n;i++) { std::cout<<ansNode[i]<<'/t'; } std::cout<<std::endl; } void TreeBuild::dfs(int x, int index) { TreeBuild::vis[x]=true; q[index]=x; for(int i=1;i<=b[x];i++) { if(vis[g[x][i]]==false) { index++; dfs(g[x][i],index); } } } int TreeBuild::max(int x, int y) { return x>y?x:y; } void TreeBuild::build(int p, int l, int r) { if(l=r) { m[p]=1; left[p]=1; right[p]=1; return; } else { m[p]=r-l+1; left[p]=r-l+1; right[p]=r-l+1; int mid=(r+l)/2; build(p*2,l,mid); build(p*2+1,mid+1,r); } } void TreeBuild::find(int p, int l, int r, int k, int w) { if(m[p]==k) insert(p,l,r,k,w); else { int mid=(r+l)/2; if(m[2*p]>=k) find(2*p,l,mid,k,w); else if(m[2*p+1]>=k) find(2*p+1,mid+1,r,k,w); else if(right[2*p]+left[2*p+1]>=k) { find(2*p+1,mid,r,k-right[2*p],w); } left[p]=left[2*p]; if(left[2*p]==mid-l+1) left[p]+=left[2*p+1]; right[p]=right[2*p+1]; if(right[2*p+1]==r-mid) right[p]+=right[2*p]; m[p]=max(m[2*p],m[2*p+1]); m[p]=max(m[p],right[2*p]+left[2*p+1]); m[p]=max(m[p],max(left[p],right[p])); return; } } void TreeBuild::insert(int p,int l,int r,int k, int w) { if(r-l+1==k) insert1(p,l,r,w); else { int mid=(r+l)/2; if(m[2*p]>=k) insert(2*p,l,mid,k,w); else if(m[2*p+1]>=k) insert(2*p+1,mid+1,r,k,w); else if(right[2*p]+left[2*p+1]>=k) { insert(2*p+1,mid,r,k-right[2*p],w); } m[p]=max(m[2*p],m[2*p+1]); m[p]=max(m[p],right[2*p]+left[2*p+1]); m[p]=max(m[p],max(left[p],right[p])); return; } } void TreeBuild::insert1(int p, int l, int r, int w) { if(l==r) { m[p]=0;left[p]=0;right[p]=0; ans[r]=w; return; } else { int mid=(r+l)/2; insert1(2*p+1,mid+1,r,w); m[p]=m[p]-1; right[p]=0; left[p]--; } }