因爲吹水的能力不佳，所以要先打個草稿，今天的吹水過程大概是：
1、牛頓迭代法的演繹過程
2、牛頓迭代法求n次方根
3、牛頓迭代法求n次方根改進版
4、牛逼哄哄的invsqrt求平方根倒數
1、牛頓迭代法的演繹過程
乍一聽，好像很高大上，其實理解上沒什麼難度。
牛頓迭代法就是在不斷迭代的過程中逼近曲線的根，可以看做，它就是用來求曲線的根的。
所以它是怎麼個迭代的過程，先上個動圖：
牛頓迭代法的過程
我用吹水的姿勢描述一遍動圖的過程，先是有一個曲線，然後要找到曲線和x軸的交點，這個時候，腦袋一拍，選x1作爲第一點，在這個點上垂直於x軸的線與曲線的交點，在這個交點做與曲線的切線，而切線與x軸的交點就是下一個迭代的點，不斷重複這個過程，直到找到曲線和x軸交點這個目標值。值得注意的是，這個方法是不斷逼近，所以得到的值可能會與目標值存在誤差，而誤差小於一定範圍就可以認爲是目標值了。一個更加圖文並茂更加通俗易懂的解釋可以點擊 這個這個這個這個。
2、牛頓迭代法求n次方根
那爲什麼說牛頓迭代法能用來求n次根呢，其實在1中的目標值，即曲線與x軸相交點的x值，假設你的方程爲 f(x) = x² - 64，當f(x) = 0時，x就是64的2次方根，以此類推，把2換成你想要求的n次方，就可以求出64的n次方根了。
明白了演繹過程，那我們就來探索它的代數實現。在上代碼前，先上個圖
牛頓迭代法某一點的求值圖解
每次迭代要求的點就是右綠色箭頭指向的這個點，在圖中可以看到黑色箭頭標識的線段長度爲-f(x)，f'(x)是對f(x)的求導結果，也就是切線的斜率，所以綠色箭頭線段的長度爲-f(x)/f'(x)，而左綠色箭頭的點爲x，所有右綠色箭頭指向的值爲x加上綠色線段的長度，即x-(f(x)/f'(x))。
上面的代數實現完成後，就可以上代碼了。嘻嘻嘻，最近在看Python版的SICP，所以貼上Python的代碼，這篇文章也是因爲看了這本書的1.6章節寫的。def就是定義一個方法的意思。
def newton_nth_root_of_a(n, a, x = 1, e = 1e-13):
def f(x):
return x ** n - a
def df(x):
return n * x ** (n - 1)
gap = abs(f(x))
while gap > e:
x = x - f(x)/df(x)
gap = abs(f(x))
return x
print(newton_nth_root_of_a(1, 64)) #64.0
print(newton_nth_root_of_a(2, 64)) #8.0
print(newton_nth_root_of_a(3, 64)) #4.0
print(newton_nth_root_of_a(4, 64)) #2.82842712474619
print(newton_nth_root_of_a(5, 64)) #2.29739670999407
print(newton_nth_root_of_a(6, 64)) #2.0
這裏是在線可運行版本 ，不多不少，剛好十行，newton_nth_root_of_a方法定義中，n代表冪，a代表對a求根，x代表起始值，e代表誤差範圍，x和e已經設置了缺省值。f(x)是曲線，df(x)是f(x)的求導結果，在while循環中，x - f(x)/df(x)就是我們上面代數實現中的結果，直到f(x)的值小於誤差，x就是最後的結果。
3、牛頓迭代法求n次方根改進版
明白了1、2其實整個過程就是這樣了，那爲啥有3，因爲要硬着頭皮接着吹水😂。
2中的10行代碼很簡潔，但是假如我要不斷的求某些值的2次根，就要不斷調用newton_nth_root_of_a(2, a)。那麼我們來改進下代碼，保持上面的代碼不變，增加下面的代碼：
def curry_nth_root(n):
def curry_nth_root_of_a(a):
return newton_nth_root_of_a(n, a)
return curry_nth_root_of_a
_2th_root = curry_nth_root(2)
print(_2th_root(64)) #8.0
print(_2th_root(49)) #7.000000000000001
print(_2th_root(36)) #6.0
print(_2th_root(25)) #5.0
print(_2th_root(16)) #4.0
print(_2th_root(9)) #3.0
這裏是在線可運行版本 ，哇咔咔，在curry化之後，就可以方便的求n次方根了，不用每次都輸入n。
curry化其實也很簡單，那麼我們就來個極端點的抽象代碼：
def improve_guess(update, close, guess=1):
'''返回猜想值，update爲更新方法，close爲逼近方法，guess爲初始猜想值'''
while not close(guess):
guess = update(guess)
return guess
def newton_update(f, df):
'''返回牛頓迭代的計算函數, f爲原函數，df是對其求導'''
def update(x):
return x - f(x) / df(x)
return update
def newton_find_zero_of_f(f, df, tolerance=1e-13):
'''找出f(x)=0時，x的值，tolerance爲與目標真實值的誤差'''
def near_zero(x):
return is_eq(f(x), 0, tolerance)
return improve_guess(newton_update(f, df), near_zero)
def is_eq(x, y, tolerance):
'''x與y的差值是否在誤差範圍內'''
return abs(x - y) < tolerance
def nth_root_of_a(n, a):
def f(x):
return x ** n - a
def df(x):
return n * x ** (n - 1)
return newton_find_zero_of_f(f, df)
print(nth_root_of_a(1, 64)) #64.0
print(nth_root_of_a(2, 64)) #8.0
print(nth_root_of_a(3, 64)) #4.0
print(nth_root_of_a(4, 64)) #2.82842712474619
print(nth_root_of_a(5, 64)) #2.29739670999407
print(nth_root_of_a(6, 64)) #2.0
這裏是在線可運行版本 ，把每一步都抽象出來，哈哈哈哈哈，這看上去很帥，雖然實際上沒啥必要，最後也可以再curry化。這是個極端的例子，但是根據業務的需要，我們可以把需要複用的步驟抽象出來，而抽象的程度也要根據業務開展。
4、牛逼哄哄的invsqrt求平方根倒數
吹水時間又到了，究竟這個牛頓迭代法有個毛線用。那你就要google下invsqrt這個改變遊戲史進程的函數，可以看下知乎上的這個回答 有哪些算法驚豔到了你？。這個函數到底是幹嘛的，就是求某個數的2次方根的倒數。因爲這個函數在3d引擎的中經常使用，所以提高這個函數的效率是至關重要的，這個函數比系統的1/sqrt(x)快了一半。雖然是倒數，但是也是能用牛頓迭代法的啊。爲毛啊，因爲這也是曲線啊，過程跟1中的圖相識。
但是！！！！請看代碼
float InvSqrt (float x){
float xhalf = 0.5f*x;
int i = *(int*)&x;
i = 0x5f3759df - (i>>1);
x = *(float*)&i;
x = x*(1.5f - xhalf*x*x);
return x;
}
第六行就是利用牛頓迭代法的值x - f(x)/f'(x)演算後的結果，在這裏f(x) = 1/x²，則f'(x)=2/x³。
第三行是把一個float指針強轉成int指針，從而進行右移運算，因爲float類型不能進行位運算，從而得到x值指數部分/2的結果，額，這裏我不打算展開說啊，因爲我說不清楚啊啊啊啊，我引用一段別人的解釋，詳情請移步這裏：
所以，32位的浮點數用十進制實數表示就是：M2E。開根然後倒數就是：M(-1/2)2^(-E/2)。現在就十分清晰了。語句i> >1其工作就是將指數除以2，實現2(E/2)的部分。而前面用一個常數減去它，目的就是得到M(1/2)同時反轉所有指數的符號。
至於0x5f3759df，這就相當無解了。wiki的介紹中，這一句的註釋是這樣的：
i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?（這他媽的是怎麼回事？）
關於這個值後來也有人專門去推理過，還寫成論文，但是，我肯定是看不懂的！！！
因爲這一步，取到一個非常合適的初始值，只需要一次牛頓迭代就能知道目標值啦，一次！！！！
最後
沒有最後，今天吹水結束！！！！！！！！