整除
如果非0整數a和整數b滿足
其中k也是整數，則說a整除b，記做 a|b，也稱a是b的一個因子或約數，b是a的倍數。
關於因子的簡單結論有：
- 1是所有整數的因子
- 所有整數(0除外)都是0的因子
- 如果a | b,b|c ，則a |c ，也就是整除性是傳遞的。
- 如果a | b且 b|a ，則a = ±b
- 如果a | b,a |c,m,n是整數，則a | mb+nc
公約數和最大公約數
如果整數d滿足d|a且d|b，則說d是整數a、b的公約數。在整數a、b的所有正公約數中，值最大的被稱爲最大（正）公約數，記 做gcd(a,b)，其中gcd是Greatest Common Divisor的縮寫。最大公約數有時又被稱爲最大公因子。
定理：如果d是整 數a,b的公約數，則d是ma + nb的約數(其中m,n是整數)，且滿足ma+nb形式的最小的正整數是a,b的最大公約數。
證明：
1)
假設d是a,b的一個約數，d|a,d|b，集合S = { ma + nb | m,n ∈ Z}，則對於S中任意一個元素x，有
x = k1a + k2b
因此根據前面結論，d | x，也就是說d整除S中的每個元素。由此可以得出，S中的最小整數是a,b所有
公約數的倍數。
2)
假設d是集合S中最小的正整數，則d能整除S中任何一個元素。反證：假設存在x∈S，d不能整除x，則x可以表示爲
x = kd + r
其中r爲小於d的正整數，由於x,d都是S的元素，因此都可以表示爲ma+nb的形式，由上式可以得出
r = x - kd
也可以表示爲ma + nb的形式，因此r∈S，這於d是S中最小正整數矛盾。因此，d能整除S中任何一個元素。
3) a和b都是S的元素，因爲
a = 1 a + 0 b
b = 0 a + 1 b
因此2中所述的d必然能整除a,b，因此d是a,b的公約數。而根據1，a,b的所有約數都能整除d，因此d是最大公約數。
質數和互質
正整數p是一個質數的條件是：
- p > 1
- p的正因子有且只有兩個，就是p和1
因此，最小的質數是2，而除了2之外，所有的偶數都不是質數。
互質的概念其實和質數沒有什麼關係，互質的定義爲：如果非0整數a,b的最大公約數爲1，則說這兩個數互質。
除法和餘數
對於整數a和b，則b一定可以表示成
b = ka +r
其中k、r是整數，且0 ≤ r < a，稱呼r爲b除以a的餘數，當r爲0時，a | b 。計算b除以a的餘數的過程稱爲模運算。
如果整數a,b除以p的餘數相等，稱爲a,b模p相等，記做
a ≡ b mod p