快速冪

超級詳細的基礎算法和數據結構合集：
https://blog.csdn.net/GD_ONE/article/details/104061907

摘要

本文主要介紹快速冪算法，快速冪雖然代碼簡單，但是往往會與其他算法相結合，很重要。

引言

當我們計算 $n^k$時，常用的做法是對$n$連乘$k$次， 但如果$k$特別大，假如$k = 1e6$， 如果仍然對$n連乘1e6$次的話，時間消耗就太大了。那麼我們如何
在短時間內求出一個數的$k$次方呢。

求$n^k$

我們可以考慮對樸素方法進行優化。
1：當我們計算得到$n^2$時, 我們可以直接使用$n^2$連乘$k/2$次。 這樣做時間複雜度變爲了$O(n/2)$
2：有人可能會問，我們既然可以用$n^2連乘k/2$次，爲什麼不用$n^4$連乘$k/4$次呢,當然可以這樣做之後時間複雜度變爲了$O(n/4)$;
3 : 我們當然也可以$n^8,n^{16}...連乘$
4：所以我們可以用：$n^1 * n^2 * n^ 4 *n^8...n^p$
快速冪就是類似的思想。

快速冪

先舉個例子：
$3^{11} = 3^1* 3^1 *3^1*3^1*3^1*3^1*3^1*3^1*3^1*3^1*3^1$
$11的二進制表示爲： 1011$
怎麼把一個二進制數轉化爲十進制數呢？
計算過程是：$11 = 1*2^0 + 1 * 2^1 + 0 * 2^2+ 1*2^3 = 1 + 2 + 0 + 8$
我們可以發現：如果將最開始求$3^{11}$變爲：$3^{11} = 3^1 * 3^2 * 3^0*3^8$， 計算量將會大大減少，原本需要乘11次，現在只需要乘4次。

另外，我們需要判斷二進制數的某一位是不是0，我們可以使用位運算方便的解決該問題。

快速冪代碼：

public static int qmi(int a, int b){ //求 a^b
	int res = 0; // res保存結果
	while(b != 0){
		if((b & 1) == 1){ //如果k的二進制數的最後一位是 1。 比如1011 & 1 = 1
			res = (res + a) % mod;
		}
		a = a * a % mod;//得到 a^1, a^2, a^4, a^8, .....
		b = b >> 1; //將b右移一位，去掉最低位。爲了開始判斷下一位。
	}
	return res;
}

代碼很簡單，多看幾遍就懂了。如果對位運算不熟悉可以翻看之前的博客。