信號的運算和常用基本信號

信號的概念和分類&系統的概念和分類

信號的運算

1. 加減運算
2. 乘法運算
3. 標量乘法
4. 平移變換 對於x(t)->x(t+t0)/x(t-t0) 當 t0爲負時，信號右移；當 t0爲正時，信號左移
5. 反轉變換 反轉時，以 t=0 或 n=0 爲軸進行反轉
6. 連續信號尺度變換
7. 離散信號的尺度變換

壓縮時丟失部分信號，稱爲信號的抽取

膨脹時插入的值可以按需要定義，稱爲對信號的內插

先抽取後內插時，由於抽取丟失部分信號，因此不能復原，丟失部分信息

​ 8.組合變換

平移後的反轉與尺度變換無任何影響

先反轉及尺度變換則後繼的平移必須乘以相應係數

可以任意順序進行變換

信號的特性

►奇信號與偶信號

奇信號（圓點對稱） 偶信號（縱軸對稱）

任何信號都可以分解爲一個奇信號和一個偶信號之和

x_o(t)=1/2[x(t)-x(-t)]
x_e(t)=1/2[x(t)+x(-t)]

►週期信號與非週期信號

使上式成立的最小週期稱爲基波週期，記作T₀或N₀

連續直流信號：基波週期無意義

離散直流信號：基波週期爲1

基本信號

• 連續時間正弦信號

• 離散時間正弦序列

  離散時間正弦序列並非都是週期信號

  爲週期信號的條件：w₀N=2Πm(m爲整數)

  注意：當N爲基波週期時，m個正弦週期，離散信號爲一個週期

• 連續時間指數信號x(t)=ce^at

  包括單邊指數信號

  c=1,a=jΩ₀,週期性復指數信號 週期T=2kΠ/Ω₀(根據歐拉公式)

  c,a都是複數時，爲復指數信號（不是週期信號）圖像如下圖

  復指數信號x（t）的實部和虛部分別是振幅按指數規律變化的正弦波

首先根據著名的歐拉公式：e^(jwt)=cos(wt)+jsin(wt) ；e^(-jwt)=cos(wt)-jsin(wt)。

歐拉公式將復指數與正弦函數聯繫到了一起: cos(wt)=[e^(jwt)+e(-jwt)]/2; sin(wt)=[e^(jwt)-e(-jwt)]/2j ;

復指數信號的實部由cos(wt)體現，虛部由jsin(wt)體現。

如果我們對一個系統輸入復指數信號，輸出必定也是復指數信號，而且輸出信號的振幅爲響應實部與虛部平方和的開方，輸出響應的相位爲虛部與實部比值的反正切。

• 離散時間指數信號x(n)=caⁿ

  c,a爲實常數：實指數序列 當a爲負數，則爲正負交替序列

  c=1，a=e^jw0:復指數序列

  e^jw0n=cosw₀n+jsinw₀n (0<w₀<2Π)

  爲週期序列的條件：w₀N=2Πm m/N爲最簡分數時的N，稱爲序列的基波週期，極左N₀ 基波頻率表示爲w_B=2Π/N₀=w₀/m

諧波

將一組週期性復指數信號組成一個信號集

連續信號：成諧波關係的復指數信號集中，每一個信號都是唯一的；基波週期T_k=2Π/|KΩ₀|

離散信號：成諧波關係的復指數信號集中，只有 個序號相連的唯一；基波週期N
注意！

由歐拉公式，離散信號中，K次和K+N次信號展開後由三角函數可知，兩個信號完全相同，因此是同一個信號，也就是說離散信號是週期信號的話，只有N個信號，基波週期是N

►單位階躍信號

作用1：將信號變爲單邊信號

作用2：門函數

►單位脈衝序列（離散）

用於取樣，n=0或n=m處的離散信號

單位脈衝序列與單位階躍序列的關係

epsilon（n)=μ（n）-μ（n-1）

►單位衝激函數（連續）

從能量角度定義
$∫σ(t)dt=1$

$σ(t)=0 (t≠0)$

從極限角度定義

CSDN 上看到一篇很好的關於衝激函數的整理