數據庫 元組演算表達式

元組關係演算

• 之前學習了一下關係代數表達式，現在再學習一下元組關係的演算，這樣就全了。這篇東西的符號打出來費了好多時間，比較麻煩，還好看着還能看懂，關鍵是全文本的，好下面開始正文。

• 爲了討論方便，先允許關係的基數是無限的。然後再對這種情況下定義的演算作適當的修改，保證關係演算中的每一個公式表示的是有限關係。

• 在元組關係演算系統中，稱 {t|Φ(t)} 爲元組演算表達式。其中 t 是元組變量， Φ(t) 爲元組關係演算公式，簡稱公式。
  它由原子公式和運算符組成。

原子公式有三類：

(1) R(t)

• R 是關係名， t 是元組變量。 R(t) 表示 t 是 R 中的元組。於是，關係 R 可表示爲： {t|R(t)}

(2) t[i] θ u[j]

• t 和 u 是元組變量， θ 是算術比較運算符。 t[i] θ u[j] 表示斷言 “ 元組 t 的第 i 個分量與元組 u 的第 j 個分量滿足比較關係 θ ” 。例如， t[2] < u[3] 表示元組 t 的第 2 個分量小於元組 u 的第 3 個分量。

(3) t[i] θ c 或 c θ t[i]

• 這裏 c 是常量，該公式表示 “t 的第 i 個分量與常量 C 滿足比較關係 θ” 。例如： t[4]=3 表示元組 t 的第 4 個分量等於 3 。
• 在關係演算中定義了 “ 自由元組變量 ” 和 “ 約束元組變量 ” 的概念。這些概念和謂詞演算中的概念完全一樣。若公式中的一個元組變量前有 “ 全稱量詞 ” 或 “ 存在量詞 ” ，則稱該變量爲約束元組變量，否則稱自由元組變量。

公式可以遞歸定義如下：

1. 每個原子公式是公式。

2. 如果 Φ 1 和 Φ 2 是公式，則 Φ 1 ∧ Φ 2 、 Φ 1 ∨ Φ 2 、 ﹁ Φ1 也是公式。分別表示：
   ① 如果 Φ 1 和 Φ 2 同時爲真。則 Φ 1 ∧ Φ 2 才爲真，否則爲假；
   ② 如果 Φ 1 和 Φ 2 中一個或同時爲真，則 Φ 1 ∨ Φ 2 爲真，僅 Φ 1 和 Φ 2 同時爲假時， Φ 1 ∨ Φ 2 才爲假；
   ③ 如果 Φ 1 真，則 ﹁ Φ 1 爲假。

3. 若 Φ 是公式，則 ∃ t(Φ) 也是公式。其中符號 ∃ 是存在量詞符號， ∃ t(Φ) 表示：
   若有一個 t 使 Φ 爲真，則 ∃ t(Φ) 爲真，否則 ∃ t(Φ) 爲假。

4. 若 Φ 是公式，則 ∀ t( Φ ) 也是公式。其中符號 ∀ 是全稱量詞符號， ∀ t( Φ ) 表示：
   如果對所有 t ，都使 Φ 爲真，則 ∀ t( Φ ) 必爲真，否則 ∀ t( Φ ) 爲假。

5. 在元組演算公式中，各種運算符的優先次序爲：
   ① 算術比較運算符最高；
   ② 量詞次之，且 ∃ 的優先級高於 ∀ 的優先級；
   ③ 邏輯運算符最低，且 ﹁ 的優先級高於 ∧ 的優先級， ∧ 的優先級高於 ∨ 的優先級；
   ④ 加括號時，括號中運算符優先，同一括號內的運算符之優先級遵循 ①②③ 各項。

6. 有限次地使用上述五條規則得到的公式是元組關係演算公式，其他公式不是元組關係演算公式。
   一個元組演算表達式 {t|Φ(t)} 表示了使 Φ(t) 爲真的元組集合。
   關係代數的運算均可以用關係演算表達式來表示 ( 反之亦然 ) 。下面用關係演算表達式來表示五種基本運算：
   (1) 並

   R ∪ S = { t | R(t) ∨ S(t) }

   (2) 差

   R － S = { t | R(t) ∧ ﹁ S(t) }

   (3) 笛卡爾積

   R × S = { t ^(n+m) | ( ∃ u⁽ⁿ⁾ )( ∃ v^(n+m) )(R(u) ∧ S(v) ∧ t[1]=u[1] ∧ … ∧ t[n]=u[n] ∧ t[n+1]=v[1] ∧ … ∧ t[n+m]=v[m])}
   注： t ^(n+m) 表示 t 有目數 (n+m)

   (4) 投影

   π i₁，i₂，……，i_k( R ) = {t^(k) | ( ∃u )( R(u) ∧ t[1] = u[ i₁ ] ∧ …… ∧ t[k] = u[ i_k ] )}

   (5) 選擇

   σ F ®={ t | R(t) ∧ F^’ }
   注： F^’ 是公式。 F 用 t[i] 代替運算對象 i 得到的等價公式。

例子

• 下面用關係演算來對圖2.4 學生-課程數據庫進行查詢。
  【例2.35】 查詢信息系 (IS 系 ) 全體學生：
  S_IS ={Student(t) ∧ t[5]=‘IS’}
  【例2.36】 查詢年齡小於 20 歲的學生。
  S₂₀ ={Student(t) ∧ t[4]<20}
  【例2.37】 查詢學生的姓名和所在系。
  S₁={ t⁽²⁾ | ( ∃u )( Student(u) ∧ t[1]=u[2] ∧ t[2]=u[5] ) }

• 上面定義的關係演算允許出現無限關係。例如 { t | ﹁ R(t)} 表示所有不屬於 R 的元組 ( 元組的目數等於 R 的目數 ) 。要求出這些可能的元組是做不到的，所以必須排除這類無意義的表達式。把不產生無限關係的表達式稱爲安全表達式，所採取的措施稱爲安全限制。安全限制通常是定義一個有限的符號集 dom(Φ) ， dom(Φ) 一定包括出現在 Φ 以及中間結果和最後結果的關係中的所有符號 ( 實際上是各列中值的彙集 ) 。 dom(Φ) 不必是最小集。

• 當滿足下列條件時，元組演算表達式 {t|Φ(t)} 是安全的：
  （ 1 ）如果 t 使 Φ(t) 爲真，則 t 的每個分量是 dom(Φ) 中的元素。
  （ 2 ）對於 Φ 中每一個形如 ( ∃ t)(W(u)) 的子表達式，若 u 使 W(u) 爲真，則 u 的每個分量是 dom(Φ) 中的元素。
  （ 3 ）對於 Φ 中每一個形如 ( ∀ t)(W(u)) 的子表達式，若 u 使 W(u) 爲假，則 u 的每個分量必屬於 dom(Φ) 。換言之，若 u 某一分量不屬於 dom(Φ) ，則 W(u) 爲真。

全文摘自《數據庫系統概論》2.5.2 元組關係演算；
爲了更好的對例題進行解釋，所以幾乎原汁原味的複製全文；
本文在原文的基礎上進行了一部分的格式修改，以便閱讀；

資料參考

• 《數據庫系統概論》（第5版 編著：王珊 薩師煊）